Resultado formal que asocia a cada simetría continua y diferenciable de un funcional de acción en un sistema físico variacional una cantidad conservada correspondiente.

Principio

Si la acción es invariante bajo una familia continua y diferenciable de transformaciones, existe una corriente o carga conservada generada por esa simetría.

Demostración

En un sistema lagrangiano cuyo lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, la invariancia frente a traslaciones temporales produce una cantidad conservada identificada como la energía del sistema.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a sistemas sin una acción variacional, a simetrías discretas sin modificar, o ignorar las condiciones de contorno necesarias conduce a afirmaciones incorrectas de conservación.

Consecuencia

Su uso correcto proporciona cantidades conservadas explícitas que reducen los grados de libertad efectivos y restringen la dinámica a largo plazo.

Inversión

Romper una simetría continua (por ejemplo haciendo que el lagrangiano dependa del tiempo) elimina la ley de conservación asociada, por lo que la carga previamente conservada puede dejar de serlo.

Límite

Se aplica a sistemas con un funcional de acción diferenciable y condiciones de contorno adecuadas; excluye dinámicas no variacionales, simetrías puramente discretas salvo análogos discretos, y configuraciones singulares que violen la diferenciabilidad.

Tensión semántica

Difiere de la afirmación informal «la simetría implica la invariancia de las ecuaciones»: el teorema liga la simetría de la acción (no solo de las ecuaciones de movimiento) a una cantidad conservada, una conexión más fuerte y estructural.

Síntesis

El teorema de Noether convierte de forma precisa las simetrías variacionales continuas en corrientes conservadas, proporcionando un método sistemático para obtener invariantes que simplifican y constriñen la dinámica física.