Un núcleo (distribucional o clásico) que actúa como inverso por la derecha de un operador diferencial o integral lineal bajo condiciones de contorno especificadas, mapeando fuentes a respuestas por convolución o integración contra el núcleo.

Principio

Resolver una ecuación lineal inhomogénea L[u]=f se logra por u(x)=∫G(x,x')f(x')dx' cuando G es una función de Green para L con las condiciones de contorno elegidas; G codifica el carácter local del operador y las restricciones globales de las fronteras.

Demostración

Para el operador de Poisson en ℝ^3, ΔG(x,x')=−δ(x−x') y la solución de Δu=f es u(x)=∫G(x,x')f(x')dx'. En dominios acotados G debe cumplir la ecuación del operador y las condiciones de contorno en su segunda variable.

Aplicación incorrecta

Usar la función de Green del espacio libre en un dominio acotado con condiciones de contorno no triviales produce soluciones que incumplen las restricciones requeridas y conducen a respuestas físicamente incorrectas.

Consecuencia

Una función de Green correcta proporciona fórmulas integrales explícitas para las soluciones, permite la construcción de resolventes y propagadores y traduce problemas de EDP lineales en operaciones con núcleos susceptibles de análisis y aproximación.

Inversión

En lugar de usar una inversión por núcleo integral, se puede discretizar el operador y resolver el sistema lineal numéricamente; esto evita funciones de Green explícitas pero puede ocultar la estructura analítica.

Límite

Definida sólo para operadores lineales (o sus linearizaciones) y requiere la especificación de condiciones de contorno o de radiación; los problemas no lineales sólo admiten técnicas de Green tras linearización o como aproximación perturbativa.

Tensión semántica

'Solución fundamental' denota un núcleo que resuelve la ecuación del operador en espacio libre sin imponer condiciones de contorno, mientras que 'función de Green' habitualmente incorpora condiciones de contorno concretas; confundirlas conduce a errores.

Síntesis

Una función de Green es el núcleo específico del operador que convierte una fuente dada en su respuesta lineal codificando condiciones de contorno, transformando la inversión del operador lineal en una transformación integral.