Una especificación de que una función o campo toma valores prescritos en la frontera de un dominio espacial; en problemas de valor en la frontera esto fija la traza de la solución en el borde del dominio.

Principio

Al prescribir valores en la frontera u|∂Ω=g se eliminan grados de libertad en el borde y, junto con un operador elíptico lineal adecuado, se obtiene un problema bien planteado (existencia y unicidad) cuando se cumplen condiciones de compatibilidad.

Demostración

Para la ecuación de Laplace Δu=0 en un dominio acotado Ω, una condición de Dirichlet prescribe u(x)=g(x) para x∈∂Ω; resolver el problema en la frontera encuentra una función armónica en Ω que coincide con g en ∂Ω.

Aplicación incorrecta

Imponer valores de Dirichlet en el interior en lugar de estrictamente en la frontera, o usar datos de frontera incompatibles con el operador (por ejemplo, trazas incompatibles), produce problemas mal planteados o insolubles.

Consecuencia

Las condiciones de Dirichlet aplicadas correctamente convierten problemas diferenciales en problemas de valor en la frontera con soluciones únicas bajo supuestos habituales de elipticidad y regularidad; también determinan funciones de Green adaptadas a esos valores de frontera.

Inversión

Las condiciones de Neumann fijan las derivadas normales en la frontera en lugar de los valores de la función; las condiciones mixtas (Robin) imponen combinaciones lineales de valor y derivada normal.

Límite

Se aplica donde está definida la noción de traza en la frontera (dominios con regularidad suficiente); excluye la especificación de datos de derivadas (Neumann), restricciones integrales sobre el dominio o condiciones en subvariedades interiores a menos que se reinterpreten como datos de frontera.

Tensión semántica

Dirichlet frente a datos de Cauchy: Dirichlet prescribe valores solo en la frontera, mientras que los datos de Cauchy prescriben tanto valores como derivadas normales y pueden sobredeterminar problemas elípticos.

Síntesis

Una condición de Dirichlet fija el valor de la incógnita en la frontera del dominio, eliminando la libertad en el borde y, para operadores adecuados y datos compatibles, produciendo problemas de frontera bien planteados y núcleos de solución adaptados al contorno.