Aplicación multilineal asociada a una conexión afín que mide el fracaso de la conmutatividad de transportes paralelos sucesivos o derivadas covariantes; sus componentes codifican la curvatura intrínseca de un espacio geométrico dotado de métrica.

Principio

La curvatura es la obstrucción a la planitud: valores distintos de cero expresan cómo los paralelogramos infinitesimales no se cierran bajo transporte paralelo y cómo las geodésicas próximas se desvían.

Demostración

Para la esfera bidimensional estándar incrustada en el espacio euclidiano tridimensional, componentes no nulas en una base de coordenadas esféricas producen curvaturas seccionales positivas y predicen geodésicas convergentes.

Aplicación incorrecta

Tratar el tensor como un invariante escalar de curvatura o sustituirlo directamente por sus contracciones (por ejemplo, el tensor de Ricci o la curvatura escalar) cuando se necesita información direccional de la curvatura.

Consecuencia

Una vez calculado correctamente determina la curvatura seccional, la desviación geodésica y la holonomía local; la anulación del tensor caracteriza geometrías afines localmente planas.

Inversión

Curvatura nula en todo lugar corresponde a una conexión plana: el transporte paralelo alrededor de cualquier lazo infinitesimal devuelve los vectores sin cambios.

Límite

Definido para espacios provistos de una conexión afín (a menudo compatible con una métrica); no se reduce por sí mismo a tensores de orden inferior salvo por contracción y no se aplica directamente a grafos discretos sin elegir un análogo de conexión discreta.

Tensión semántica

A menudo se confunde con sus formas contraídas (tensor de Ricci o curvatura escalar): éstas resumen y pierden la dependencia direccional que contiene el tensor completo.

Síntesis

El tensor de curvatura de Riemann es el campo multilineal asociado a una conexión afín que captura cuantitativamente cómo el transporte paralelo y las derivadas covariantes no conmutan y, por tanto, codifica la curvatura direccional y la desviación geodésica.