Una 1-forma con valores en la álgebra de Lie sobre un fibrado principal que selecciona subespacios horizontales en cada espacio tangente, definiendo transporte paralelo e induciendo derivadas covariantes en fibrados vectoriales asociados; en física aparece como el potencial de calibre.

Principio

Una conexión descompone el espacio tangente del fibrado principal en partes horizontal y vertical; su 2-forma de curvatura mide la no integrabilidad de las horizontales y actúa como la intensidad de campo.

Demostración

El potencial vectorial electromagnético es una conexión U(1) representada localmente por una 1-forma A; su derivada exterior produce la 2-forma del campo electromagnético F=dA en regiones sin monopolos magnéticos.

Aplicación incorrecta

Interpretar una transformación de calibre de la 1-forma de conexión como un cambio en los campos físicos en lugar de un cambio de trivialización local o de marco de referencia.

Consecuencia

Su uso apropiado codifica cómo los campos de materia se transportan paralelamente bajo transformaciones de simetría locales, genera derivadas covariantes y produce formas de curvatura cuyas integrales pueden contener información topológica.

Inversión

Una conexión con curvatura idénticamente nula es localmente equivalente a un puro calibre: localmente puede eliminarse mediante una transformación de calibre adecuada.

Límite

Definida en fibrados principales con un grupo de estructura de Lie especificado; sus representantes locales como 1-formas dependen de la elección de trivialización y no son objetos intrínsecos por sí mismos.

Tensión semántica

Existe tensión entre el objeto geométrico (la 1-forma de conexión en el fibrado) y su representación dependiente de coordenadas (potencial de calibre) usada en cálculos y experimentos.

Síntesis

Una conexión principal es la 1-forma diferencial con valores en la álgebra de Lie sobre un fibrado principal que prescribe direcciones horizontales, gobierna el transporte paralelo de campos asociados y cuya 2-forma de curvatura codifica la intensidad de campo y la holonomía.