El operador lineal que da el cambio de primer orden en un funcional con valor escalar inducido por una perturbación infinitesimal de su función de entrada; generaliza la noción de derivada ordinaria a aplicaciones de espacios de funciones a escalares.

Principio

Una derivada funcional se define de modo que la variación del funcional bajo una pequeña perturbación direccional sea igual al producto interior de esa perturbación con el operador derivado hasta primer orden; la existencia de esta aproximación lineal distingue la diferenciabilidad de Fréchet de nociones direccionales más débiles.

Demostración

Para F[f] = ∫_a^b f(x)^2 dx la derivada funcional en f es la función δF/δf(x) = 2 f(x) puesto que F[f+εη] = F[f] + ε ∫ 2 f(x) η(x) dx + o(ε), mostrando la respuesta lineal a la perturbación η.

Aplicación incorrecta

Tratar la derivada funcional como una derivada parcial puntual sin verificar la integrabilidad y la topología adecuada, o aplicar fórmulas que asumen suavidad en contextos donde solo existen derivadas direccionales.

Consecuencia

Cuando la derivada de un funcional se anula frente a variaciones admisibles, la función en cuestión es un punto estacionario y satisface las condiciones variacionales asociadas (de tipo Euler–Lagrange) que caracterizan extremos o equilibrios.

Inversión

La derivada ordinaria de una función escalar respecto de una variable escalar, que mide la tasa de cambio a lo largo de una coordenada unidimensional en lugar de la respuesta lineal a perturbaciones en un argumento funcional.

Límite

Se aplica a funcionales definidos en espacios de funciones con estructura (por ejemplo, normas, productos interiores) que permiten aproximación lineal; excluye aplicaciones no diferenciables en sentido Fréchet o Gateaux y funcionales definidos solo punto por punto sin un acoplamiento integral.

Tensión semántica

La distinción aparece entre derivadas de Gateaux (direccionales) que existen a lo largo de perturbaciones específicas y derivadas de Fréchet que proporcionan una aproximación lineal uniforme; la tensión es entre emplear nociones direccionales más débiles y exigir linealidad y continuidad plenas.

Síntesis

La derivada funcional es el objeto que asigna linealmente a un cambio infinitesimal de una función el cambio de primer orden de un funcional escalar, proporcionando la base para ecuaciones variacionales que identifican funciones estacionarias.