Un mapa suave que describe cómo los elementos de un grupo de Lie actúan como transformaciones suaves sobre una variedad diferenciable; es decir, un homomorfismo de grupos del grupo de Lie en el grupo de difeomorfismos de la variedad que es suave tanto en el elemento del grupo como en el punto base.

Principio

Una simetría continua se representa mediante una familia parametrizada y suave de difeomorfismos que preserva la ley de composición del grupo, permitiendo transferir la estructura algebraica del grupo a transformaciones geométricas.

Demostración

El grupo de rotaciones que actúa sobre la esfera 2 girando cada punto; la acción asigna a cada parámetro de rotación una biyección suave de la esfera y parte la esfera en órbitas (círculos de latitud para algunos subgrupos).

Aplicación incorrecta

Tratar una acción de un grupo discreto o topológico sin estructura diferenciable como una acción de grupo de Lie, o asumir que cada generador infinitesimal se integra en una acción global sin comprobar la completitud.

Consecuencia

Produce descomposiciones en órbitas, subgrupos de isotropía, campos tensoriales invariantes, cantidades conservadas para dinámicas equivarientes y, con frecuencia, permite formar variedades cociente bajo acciones libres y propias.

Inversión

Un action de grupo arbitario o una mera permutación en sentido de conjuntos que carece de suavidad y de la estructura de variedad que liga los parámetros del grupo a transformaciones diferenciables.

Límite

Exige un grupo de Lie y una variedad diferenciable con clase de suavidad especificada; excluye acciones puramente topológicas, discretas o no suaves y acciones sobre espacios sin cartas de variedad.

Tensión semántica

Acción global de un grupo de Lie frente a acción infinitesimal del álgebra de Lie: esta última describe generadores locales en los espacios tangentes y puede no integrarse a una acción global suave.

Síntesis

Una acción de grupo de Lie es un mapa suave y que preserva la estructura que realiza elementos del grupo como difeomorfismos de una variedad, traduciendo simetrías algebraicas en transformaciones geométricas y estructuras de órbitas.