Un operador lineal entre espacios de Banach (o normados) que envía conjuntos acotados a conjuntos relativamente compactos — equivalente a que la imagen de la bola unidad tiene cierre compacto.

Principio

La compacidad de una aplicación lineal en dimensiones infinitas generaliza la aproximabilidad por dimensiones finitas: los operadores compactos se comportan como límites de operadores de rango finito y heredan características espectrales discretas ausentes en operadores acotados generales.

Demostración

En L^2([0,1]) un operador integral (Tf)(x)=∫_0^1 K(x,y) f(y) dy con K continua es compacto porque envía la bola unidad a una familia equicontinua y acotada punto por punto cuyo cierre es compacto por Arzelà–Ascoli.

Aplicación incorrecta

Suponer que todo operador acotado es compacto (falso en dimensiones infinitas) o tratar la compacidad como preservada bajo límites arbitrarios en topologías más débiles; por ejemplo, el shift unilateral en ℓ^2 es acotado pero no compacto.

Consecuencia

Los operadores compactos tienen propiedades espectrales análogas a matrices: su espectro no nulo es, a lo sumo, numerable con 0 como posible punto de acumulación, y los autovectores asociados a autovalores no nulos distintos generan espacios propios de dimensión finita, lo que posibilita la teoría de Fredholm.

Inversión

Un operador acotado que no envía conjuntos acotados a conjuntos relativamente compactos (p. ej. el shift bilateral o la identidad en un espacio infinito) muestra el comportamiento inverso: continuo pero sin aproximabilidad por rango finito en norma.

Límite

Se define para aplicacioens lineales entre espacios normados; la noción excluye aplicaciones no lineales (a menos que se linealicen) y depende de la topología inducida por la norma — distintas topologías alteran la compacidad; no todo espacio de Banach admite operadores compactos no triviales.

Tensión semántica

A menudo se confunde con operadores de rango finito: todo operador de rango finito es compacto, pero los operadores compactos pueden ser límites infinitos de operadores de rango finito; la tensión está en la aproximación en norma de operador frente al rango algebraico.

Síntesis

Un operador compacto es una aplicación lineal que comprime conjuntos acotados en imágenes relativamente compactas, proporcionando un análogo en dimensión infinita de operadores finito‑dimensionales con estructura espectral discreta y resultados de solvencia potentes.