Propiedad de un sistema dinámico con una medida de probabilidad invariante: el sistema es ergódico si, para casi toda condición inicial, los promedios temporales de observables integrables igualan su promedio de conjunto respecto a esa medida.

Principio

Indecomponibilidad bajo la dinámica: la medida invariante no puede escribirse como combinación convexa no trivial de otras medidas invariantes soportadas en conjuntos invariantes disjuntos.

Demostración

Ejemplo: la rotación del círculo por un ángulo irracional es ergódica respecto a la medida uniforme; los promedios temporales a lo largo de una órbita típica muestrean el círculo de forma uniforme.

Aplicación incorrecta

Equiparar ergodicidad con rápida decadencia de correlaciones; la ergodicidad garantiza la igualdad de promedios temporales y de conjunto pero no cuantifica la velocidad de convergencia.

Consecuencia

Para sistemas ergódicos, una larga serie temporal de una sola trayectoria típica basta para estimar estadísticas de conjunto, justificando experimentos de trayectoria única en regímenes estacionarios.

Inversión

Dinámica no ergódica: el espacio de fases se descompone en componentes invariantes, de modo que los promedios temporales dependen de la componente inicial y difieren del promedio global.

Límite

Definida para sistemas con una medida de probabilidad invariante; excluye procesos no estacionarios sin estadística invariante o comportamientos puramente transitorios.

Tensión semántica

A menudo se confunde con mixing: mixing es una propiedad más fuerte que implica pérdida de correlaciones y por tanto ergodicidad, pero la ergodicidad por sí sola no implica decorrelación temporal.

Síntesis

La ergodicidad asegura que observaciones individuales a largo plazo representan las esperanzas del conjunto al exigir que la dinámica explore indecomponiblemente la medida invariante.