La función K(t)=log E[e^{tX}] definida (cuando existe la función generadora de momentos) cuyas derivadas en cero dan los cumulantes de una variable aleatoria X; codifica propiedades aditivas para sumas independientes.

Principio

Porque el logaritmo de la MGF convierte productos de MGFs (para variables independientes) en sumas, las derivadas de K en cero producen medidas centrales (cumulantes) que se suman bajo independencia.

Demostración

Para X~N(μ,σ²), K(t)=μ t + (σ²/2) t²; los dos primeros cumulantes extraídos por K'(0)=μ y K''(0)=σ² corresponden a la media y la varianza, y los cumulantes de orden superior son nulos.

Aplicación incorrecta

Usar la función generadora de cumulantes cuando la MGF no existe (distribuciones con colas pesadas) o confundir cumulantes con momentos crudos conduce a errores; la existencia es local alrededor de t=0.

Consecuencia

Proporciona una herramienta compacta para obtener cumulantes, estudiar convergencias (mediante control de cumulantes) y simplificar el análisis de sumas de variables independientes porque los cumulantes se suman.

Inversión

Exponenciar K(t) devuelve la MGF M(t)=E[e^{tX}]; cuando se conoce M, los cumulantes se obtienen de su logaritmo en lugar de de las derivadas de los momentos crudos.

Límite

Definida sólo en el intervalo o vecindad de t=0 donde la MGF M(t) existe y es finita; las funciones características (log de E[e^{itX}]) siempre existen pero producen coeficientes tipo cumulante complejos.

Tensión semántica

A menudo se contrasta con la MGF y la función característica: la función generadora de cumulantes da cumulantes aditivos mediante el logaritmo de la MGF, mientras que los momentos proceden directamente de la MGF y la función característica evita problemas de existencia.

Síntesis

La función generadora de cumulantes es el logaritmo de la MGF cuyas derivadas en cero producen cumulantes que resumen la forma de la distribución y se suman para sumas independientes.