Un espacio métrico cuya función distancia satisface la desigualdad triangular fuerte d(x,z) ≤ max{d(x,y), d(y,z)} para todos los puntos, produciendo una geometría jerárquica no arquimediana.

Principio

La desigualdad ultramétrica obliga a que las bolas sean anidadas y a una estructura en árbol: dos bolas o bien son disjuntas o bien una contiene a la otra, lo que codifica el agrupamiento jerárquico en la propia métrica.

Demostración

La norma p-ádica en los números racionales define una ultramétrica: las distancias reflejan la divisibilidad por un primo y las bolas abiertas forman vecindades algebraicas anidadas.

Aplicación incorrecta

Aplicar la intuición euclidiana (deformaciones suaves, pequeñas perturbaciones que cambian las distancias de forma continua) a espacios ultramétricos donde la topología es totalmente disconexa y las perturbaciones se comportan de forma no arquimediana.

Consecuencia

Las topologías son totalmente disconexas, todo punto de una bola es su centro, y el agrupamiento jerárquico y las representaciones en árbol son canónicas e intrínsecas a la métrica.

Inversión

En una métrica convencional (euclidiana), la desigualdad triangular es más débil y permite variación continua y bolas solapadas no anidadas, produciendo una topología fundamentalmente distinta.

Límite

Se aplica sólo a métricas que satisfacen la desigualdad fuerte; muchas métricas sobre el mismo conjunto no son ultramétricas y las métricas habituales de variedades quedan excluidas.

Tensión semántica

Ultramétrica frente a métrica de árbol: las ultramétricas son precisamente las métricas realizables por inmersiones isométricas en árboles reales enraizados con función de altura, mientras que algunas dissimilaridades derivadas de árboles pueden no cumplir estrictamente la propiedad ultramétrica.

Síntesis

Un espacio ultramétrico es un espacio métrico con una ley de distancia no arquimediana que impone bolas anidadas y una topología en árbol, lo que da lugar a un comportamiento geométrico y topológico muy distinto del de métricas ordinarias.