Un enunciado de teoría de números que afirma que para un primo p y un entero a, a^p ≡ a (mod p); equivalentemente, si a no es divisible por p entonces a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Principio

Surge del hecho de que el grupo multiplicativo de enteros módulo un primo p es cíclico de orden p−1, de modo que la potenciación respeta el orden del grupo y conduce a estas congruencias.

Demostración

Para p=7 y a=3, 3^6 = 729 ≡ 1 (mod 7), verificando el teorema; si a es múltiplo de p la congruencia a^p ≡ a es trivialmente cierta.

Aplicación incorrecta

Usar el teorema para certificar primalidad sin verificar compuestos que satisfacen la congruencia para muchas bases (números de Carmichael) o aplicar la forma reducida módulo un compuesto sin condiciones.

Consecuencia

Proporciona una identidad útil para exponentiación modular empleada en pruebas de primalidad, cálculo de inversos modulares cuando el módulo es primo y en muchos algoritmos de teoría de números computacional y criptografía.

Inversión

El teorema de Euler generaliza esta afirmación a módulos compuestos reemplazando p−1 por la función phi de Euler φ(n); invertir la afirmación la debilita hacia enunciados sobre el orden de grupos en anillos finitos arbitrarios.

Límite

Válido sólo cuando el módulo es primo para la forma con exponente p, o para enteros coprimos a p en la forma p−1; no implica primalidad ni se cumple para módulos compuestos arbitrarios.

Tensión semántica

Tensión conceptual con el teorema de Euler y los contraejemplos de Carmichael: la congruencia de Fermat es una propiedad fuerte y fácil de comprobar para primos pero insuficiente por sí sola para pruebas de primalidad ante pseudoprimos.

Síntesis

Una congruencia fundamental que vincula módulos primos y potenciación: las potencias de enteros se reducen de forma predecible módulo primos debido al orden finito del grupo multiplicativo.