Definición
Una deformación continua entre dos aplicaciones continuas (o espacios) parametrizada por un intervalo: una homotopía entre f y g es una aplicación continua H(x,t) con H(·,0)=f y H(·,1)=g, que expresa que f puede deformarse continuamente en g.
Principio
Principio
La homotopía capta la equivalencia por deformación: las propiedades invariantes por homotopía son invariantes topológicas gruesas que ignoran la métrica y la estructura a pequeña escala pero preservan la conectividad global y los agujeros.
Demostración
Demostración
Un disco es homotópico a un punto mediante la contracción radial H(x,t)=(1−t)x; la inclusión de un círculo en un cilindro es homotópica a una retracción sobre el círculo, mostrando que comparten el mismo tipo de homotopía.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir equivalencia por homotopía con homeomorfismo o suponer que los invariantes de homotopía (por ejemplo, grupos de homotopía) determinan la estructura geométrica fina como la incrustación o la estructura diferenciable.
Consecuencia
Consecuencia
La homotopía da lugar a invariantes algebraicos (grupos de homotopía, clases de homotopía) y a una clasificación hasta deformación; permite razonar sobre deformaciones continuas y teoría de obstrucciones en topología y topología algebraica.
Inversión
Inversión
El reverso es una equivalencia rígida como el homeomorfismo o la isometría que preserva todos los detalles topológicos o geométricos en lugar de solo las clases de deformación.
Límite
Límite
Se aplica a aplicaciones continuas entre espacios topológicos y al concepto de tipo de homotopía; no captura estructuras más finas (suaves, PL, métricas) salvo que se impongan restricciones adicionales.
Tensión semántica
Tensión semántica
Tensión con la homología: la homología es más fácil de calcular y captura la información de agujeros abelianizada, mientras que los grupos de homotopía son generalmente más potentes pero más difíciles de calcular; elegir uno implica intercambiar capacidad de cálculo por poder discriminante.
Síntesis
Síntesis
La homotopía formaliza la idea de deformar continuamente aplicaciones o espacios entre sí, produciendo clases de equivalencia que preservan rasgos topológicos a gran escala e ignoran detalles métricos o de pequeña escala.