Una estadística adimensional r que mide la asociación lineal entre dos variables aleatorias dividiendo su covarianza por el producto de sus desviaciones estándar; r toma valores en el intervalo [-1,1].

Principio

Estandarizar cada variable elimina unidades, de modo que el producto esperado de las desviaciones estandarizadas cuantifica la dependencia lineal en una escala normalizada sin unidades.

Demostración

Dos señales estandarizadas idénticas tienen r = 1; para muchos pares de variables independientes con media cero, el valor esperado de r es cero, reflejando ausencia de asociación lineal.

Aplicación incorrecta

Interpretar un r distinto de cero como prueba de influencia causal o usar r para excluir dependencia que es no lineal o basada en rangos son usos indebidos comunes.

Consecuencia

Proporciona una medida simple y comparable de asociación lineal utilizada en diagnósticos de modelos lineales, selección de variables predictoras y como base para pruebas paramétricas cuando se cumplen las suposiciones.

Inversión

Las medidas de correlación por rangos operan sobre ordenaciones en lugar de valores crudos y detectan así relaciones monótonas que Pearson puede pasar por alto, a cambio de perder sensibilidad ante escalados lineales.

Límite

Requiere momentos de segundo orden finitos y queda indefinido si alguna variable tiene varianza cero; es sensible a valores atípicos y no captura dependencias no lineales.

Tensión semántica

Equilibra interpretabilidad y comparabilidad frente a ceguera ante muchas formas de dependencia; fácil de reportar, pero puede subestimar la asociación cuando las relaciones son no lineales.

Síntesis

Pearson r es el producto esperado normalizado de desviaciones estandarizadas que cuantifica la fuerza y el signo de la relación lineal entre dos variables en una escala acotada.