Definición
Una variedad suave de dimensión par equipada con una 2-forma diferencial cerrada y no degenerada (la forma simpléctica) que proporciona un emparejamiento bilineal en cada espacio tangente y es la estructura geométrica de la mecánica Hamiltoniana.
Principio
Principio
La no degeneración de la 2-forma da un isomorfismo canónico entre tangente y cotangente; la clausura (dω=0) asegura coordenadas canónicas locales (teorema de Darboux) y propiedades de conservación para los flujos hamiltonianos.
Demostración
Demostración
El espacio de fases estándar R^{2n} con coordenadas (q,p) y forma ω = Σ_i dp_i ∧ dq_i es una variedad simpléctica; las ecuaciones de Hamilton se obtienen por contracción de ω con el campo hamiltoniano.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Llamar simpléctica a cualquier variedad con una forma de volumen: las formas de volumen son de grado máximo y no proporcionan la 2-forma cerrada no degenerada requerida.
Consecuencia
Consecuencia
Localmente toda variedad simpléctica admite coordenadas donde la forma toma la forma estándar dp∧dq, lo que implica ausencia de invariantes escalares locales de la forma y rigidez de las transformaciones canónicas (simpléctomorfismos).
Inversión
Inversión
Al perder la no degeneración se obtiene una 2-forma presimpléctica (cerrada pero degenerada) cuyo núcleo soporta restricciones; al perder la clausura no se tiene la propiedad de Darboux.
Límite
Límite
Se aplica a variedades suaves de dimensión par; excluye variedades de dimensión impar y contextos sin una 2-forma cerrada no degenerada (p. ej., estructuras puramente conservadoras de volumen o variedades de Poisson con hojas singulares).
Tensión semántica
Tensión semántica
A menudo se contrasta con variedades de Poisson: una variedad simpléctica tiene una 2-forma no degenerada definida globalmente, mientras que una estructura de Poisson puede ser degenerada o singular y proporciona un bivector en lugar de una forma.
Síntesis
Síntesis
Una variedad simpléctica es una variedad suave de dimensión par con una 2-forma cerrada y no degenerada que localmente se reduce a dp∧dq y constituye el marco geométrico de la dinámica Hamiltoniana.