Un resultado en la teoría de martingalas que afirma que, bajo condiciones de integrabilidad o acotamiento especificadas sobre un tiempo de parada τ y una martingala (M_t), la esperanza en el tiempo de parada es igual a la esperanza inicial: E[M_τ] = E[M_0].

Principio

La propiedad de juego justo de una martingala se conserva al detenerla siempre que la regla de parada no permita una acumulación descontrolada de varianza o una espera no acotada sin integrabilidad suficiente.

Demostración

Si M_t es una martingala y τ está acotada casi seguramente por una constante T, entonces por muestreo opcional se tiene E[M_τ]=E[M_0]; por ejemplo, una caminata aleatoria justa detenida en un tiempo de parada acotado tiene ganancia neta esperada cero.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema sin verificar las condiciones (por ejemplo, usar un tiempo de parada no acotado con incrementos no acotados) puede llevar a conclusiones incorrectas; contraejemplos clásicos muestran que E[M_τ] puede diferir de E[M_0].

Consecuencia

Justifica muchos argumentos de parada en juegos justos y es una herramienta fundamental para probar identidades e desigualdades que involucran procesos detenidos.

Inversión

Si fallan las condiciones de integrabilidad/acotamiento, la parada opcional puede fallar y la parada puede cambiar sistemáticamente la esperanza, por lo que detener puede introducir sesgo en lugar de preservar la equidad.

Límite

Requiere una filtración, una martingala adaptada y un tiempo de parada; condiciones admisibles incluyen τ acotada, integrabilidad uniforme de M_{t∧τ} o dominación integrable — los casos fuera de estas condiciones quedan excluidos.

Tensión semántica

Tensión entre parar casi seguramente y la preservación de la esperanza: la finitud casi segura de τ por sí sola no garantiza E[M_τ]=E[M_0] sin control adicional de integrabilidad.

Síntesis

El teorema de parada opcional afirma que la esperanza de una martingala se conserva en un tiempo de parada cuando se cumplen condiciones apropiadas de acotamiento o integrabilidad, formalizando cuándo detener un juego justo sigue siendo justo.