Definición
En un espacio de Hilbert H, todo funcional lineal continuo φ sobre H puede representarse de forma única como producto interno φ(x) = ⟨x,v⟩ con un v∈H único; esta identificación produce un isomorfismo isométrico antilineal (o lineal según convención) entre H y su dual continuo H*.
Principio
Principio
El teorema identifica el dual de un espacio de Hilbert con el propio espacio mediante el producto interno, convirtiendo funcionales abstractos en vectores concretos y permitiendo construcciones explícitas de adjuntos.
Demostración
Demostración
En L^2(Ω), cualquier funcional lineal continuo viene dado por integración frente a una función g∈L^2: φ(f)=∫_Ω f(x) overline{g(x)} dx; aquí g es el vector representante garantizado por el teorema.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Aplicar la representación de Riesz del espacio de Hilbert en un espacio de Banach no Hilbertiano (por ejemplo L^p con p≠2) es inválido; los duales allí no se representan por productos internos con vectores del mismo espacio.
Consecuencia
Consecuencia
El teorema simplifica la dualidad: los funcionales lineales acotados pueden tratarse como productos internos con vectores, lo que agiliza pruebas de existencia, definiciones de adjuntos y argumentos de proyección ortogonal.
Inversión
Inversión
La situación contrastante son los espacios de Banach generales, donde el dual continuo puede diferir esencialmente del espacio primal; sin estructura de producto interno no hay representación por producto interno.
Límite
Límite
La afirmación requiere estructura completa de producto interno (espacio de Hilbert); existen resultados tipo Riesz en otros marcos (p. ej. medidas frente a funciones continuas), pero son teoremas distintos con hipótesis diferentes.
Tensión semántica
Tensión semántica
Riesz versus Hahn‑Banach: Riesz proporciona una representación explícita en espacios de Hilbert, mientras que Hahn‑Banach garantiza extensiones de funcionales en Banach muy generales sin ofrecer un elemento representante explícito.
Síntesis
Síntesis
El teorema de representación de Riesz (forma de Hilbert) afirma que los funcionales lineales continuos en un espacio de Hilbert son exactamente los productos internos con vectores únicos de ese espacio, produciendo una identificación isométrica de H con H*.