Una colección de subconjuntos de un conjunto dado que contiene el conjunto vacío y es cerrada por complementos y uniones contables (equivalente a intersecciones contables); provee el dominio de conjuntos considerados medibles para una medida o funciones medibles.

Principio

La clausura por complementos y uniones contables organiza una familia mínima estable de conjuntos sobre la cual las medidas y las funciones medibles se comportan de manera coherente bajo límites y operaciones con conjuntos.

Demostración

En la recta real, la σ-álgebra de Borel está generada por los intervalos abiertos y es la σ-álgebra más pequeña que los contiene; cualquier conjunto abierto, cerrado o cualquier unión o intersección contable de tales conjuntos pertenece a ella.

Aplicación incorrecta

Tratar una álgebra (cerrada por uniones finitas) como si fuera una σ-álgebra y aplicar operaciones límite contables puede producir conjuntos no medibles o intercambios inválidos entre límites y medidas.

Consecuencia

Al fijarse una σ-álgebra, se pueden definir medidas, integrales y funciones medibles de forma consistente; las medidas de probabilidad asignan masa total uno al espacio entero en esa σ-álgebra.

Inversión

Sustituir la clausura contable por clausura solo finita produce una álgebra o anillo de conjuntos, que no garantiza clausura bajo límites y por tanto resulta insuficiente para la mayoría de argumentos de convergencia en teoría de la medida.

Límite

Se aplica a colecciones de conjuntos sobre un conjunto base fijo; no especifica una medida concreta ni asegura que todo subconjunto esté incluido (a menos que sea el conjunto de las partes). Excluye familias cerradas solo bajo operaciones finitas.

Tensión semántica

Cercano a 'álgebra de conjuntos' (operaciones finitas) o 'σ-campo' (sinónimo); la tensión aparece cuando las operaciones contables son esenciales — p. ej., distinguir entre aditividad finita y aditividad contable.

Síntesis

Una σ-álgebra es la familia estructurada de subconjuntos de un espacio, cerrada por complementos y uniones contables, que proporciona el dominio mínimo y estable sobre el cual se definen medida y mesurabilidad y donde los procesos límite son legítimos.