En un espacio topológico, el conjunto de puntos cuyo cada vecindario intersecta tanto el conjunto como su complemento; equivalentemente la clausura del conjunto menos su interior.

Principio

Los puntos de la frontera son precisamente los que no son enteramente interiores ni enteramente exteriores; marcan la interfaz entre un conjunto y su complemento y son invariantes bajo operaciones de clausura y complemento (∂A = cl(A) \ int(A)).

Demostración

Para el intervalo [0,1] en la recta real, la frontera es {0,1}; para el disco unidad abierto en el plano, la frontera es el círculo unidad, capturando el borde geométrico.

Aplicación incorrecta

Confundir frontera con clausura o suponer en términos métricos que los puntos de la frontera deben ser puntos de acumulación puede llevar a error: puntos aislados de un conjunto finito son puntos de frontera en la topología discreta pero no puntos de acumulación.

Consecuencia

La identificación correcta de la frontera respalda argumentos sobre continuidad, compacidad, dominios de integración y la resolución de problemas de valor en la frontera para EDPs; determina dónde deben imponerse valores o condiciones para la planteabilidad del problema.

Inversión

Tomar el complementario se centra en puntos exteriores en lugar de la interfaz: estudiar solo el interior del complemento hace perder la estructura de puntos que se encuentran exactamente en la frontera entre conjunto y complemento.

Límite

Definido en cualquier espacio topológico; el concepto excluye fronteras en sentido medida-teórico (que pueden coincidir pero son nociones distintas) y propiedades que requieren metrizabilidad como distancias a la frontera. La frontera puede ser vacía (para el espacio total o el conjunto vacío) o coincidir con el conjunto (para cerrados que no tienen interior).

Tensión semántica

Tensión con la noción de frontera medida-teórica o topológica y con la idea de 'borde' en contextos geométricos; la frontera es topológica e invariante por homeomorfismo, mientras que el borde geométrico puede depender de la inmersión o la métrica.

Síntesis

La frontera de un conjunto es la interfaz topológica: puntos que no pertenecen ni a un vecindario totalmente interior ni a uno totalmente exterior, formando el lugar donde deben especificarse condiciones topológicas y a menudo analíticas.