Una familia de morfismos (llamadas componentes) η_X : F(X) → G(X) indexada por los objetos X de una categoría fuente, que conecta dos funtores F,G : C → D, tal que para todo morfismo f : X → Y en C el cuadrado G(f) ∘ η_X = η_Y ∘ F(f) conmuta. Expresa una aplicación coherente, por objeto, entre funtores.

Principio

La transformación natural es el dato que hace que la correspondencia entre funtores sea compatible con la estructura interna de la categoría fuente; la naturalidad impone que las componentes conmuten con la acción de los morfismos.

Demostración

Tome los funtores List, Id : Conj → Conj donde List(X) es el conjunto de listas finitas de elementos de X e Id(X)=X. La función que da la longitud de una lista no es una transformación natural hacia Id, pero la función que devuelve la cabeza de la lista define una transformación natural head : List → Maybe (con Maybe(X)=X∪{nil}) con componentes head_X(lista)=primer elemento o nil; para toda función f : X→Y la cabeza después de aplicar f coincide con aplicar f a la cabeza, por lo que el cuadrado de naturalidad conmuta.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier colección de maps η_X : F(X)→G(X) como transformación natural sin verificar la conmutatividad —por ejemplo definiendo componentes que dependen de representantes internos de objetos— viola la naturalidad y es solo una familia, no una transformación natural.

Consecuencia

Cuando existe una transformación natural, proporciona una forma uniforme y que preserva la estructura de comparar funtores; pueden componerse vertical y horizontalmente, conduce a la noción de isomorfismo natural y de equivalencia, y organiza los funtores en la categoría Fun(C,D).

Inversión

La inversión es una familia de mapas que no conmuta con los morfismos; invertir la condición de conmutación conduce a componentes arbitrarias y no coherentes (una familia no natural).

Límite

Se aplica solo a pares de funtores con la misma categoría fuente y objetivo y a mapas indexados por objetos; excluye correspondencias punto a punto que no satisfacen naturalidad o transformaciones entre funtores con distinta fuente u objetivo.

Tensión semántica

Términos cercanos: 'mapa componente' (una mera familia de mapas) e 'isomorfismo natural' (transformación natural cuyas componentes son isomorfismos). La tensión es entre la definición por objeto y el requisito adicional de conmutar con morfismos.

Síntesis

Una transformación natural es la colección coherente y respetuosa con los morfismos de mapas por objeto que compara dos funtores de la misma fuente a la misma meta, y constituye la noción elemental de morfismo entre funtores en teoría de categorías.