Opérateur qui mesure le changement infinitésimal des champs tensoriels le long du flot engendré par un champ de vecteurs, défini sans coordonnées comme le transport de Lie des objets géométriques.

Principe

La dérivée de Lie d'un tenseur le long d'un champ de vecteurs est le générateur infinitésimal du tiré en arrière par le flot du champ de vecteurs ; elle dépend seulement du champ de vecteurs et du type algébrique du tenseur, pas d'une connexion.

Démonstration

Pour un tenseur métrique g et un champ de Killing X, la dérivée de Lie L_X g s'annule, ce qui exprime que X engendre une isométrie de la métrique.

Mauvaise application

Remplacer la dérivée de Lie par une dérivée covariante sans tenir compte des termes de connexion est incorrect ; contrairement à la dérivée covariante, la dérivée de Lie est indépendante de toute connexion et mesure le changement induit par le flot, non le transport parallèle.

Conséquence

L'usage des dérivées de Lie fournit un test indépendant des coordonnées pour les symétries et l'invariance, identifie des quantités géométriques conservées et donne des relations algébriques telles que L_X L_Y - L_Y L_X = L_[X,Y].

Inversion

Alors que la dérivée de Lie compare les champs en les faisant 'glisser' le long des flots, une dérivée covariante basée sur une connexion compare par transport parallèle ; inverser le point de vue échange le changement intrinsèque au flot contre une comparaison dépendant de la connexion.

Limite

Définie pour les variétés lisses et des champs de vecteurs et tenseurs suffisamment réguliers ; elle ne s'applique pas directement aux structures non différentiables ou aux géométries discrètes sans analogue approprié.

Tension sémantique

Voisine mais distincte de la dérivée covariante : les deux mesurent le changement, mais la dérivée de Lie est intrinsèque aux flots et tensorielle sous changement de coordonnées, tandis que la dérivée covariante nécessite une connexion et capture le transport parallèle directionnel.

Synthèse

La dérivée de Lie est le générateur infinitésimal, sans coordonnées, du glissement des objets tensoriels le long des flots de champs de vecteurs, fournissant une notion naturelle et indépendante d'une connexion du changement géométrique et de la symétrie.