Une transformée intégrale linéaire qui envoie une fonction de temps ou d'espace sur une fonction de fréquence, représentant l'original comme une superposition de composantes sinusoïdales.

Principe

Décomposer les signaux en composantes fréquentielles orthogonales de sorte que les opérations linéaires (convolution, dérivation) deviennent des manipulations algébriques en coordonnées de fréquence.

Démonstration

La transformée de f(x)=exp(-a x^2) (a>0) donne une autre gaussienne en fréquence ; la convolution de deux fonctions L1 correspond au produit point par point de leurs transformées.

Mauvaise application

Appliquer la transformée à une distribution non tempérable sans préciser l'extension distributionnelle, ou traiter une transformée qui ne converge que au sens des distributions comme une fonction ponctuelle ordinaire.

Conséquence

Fournit des représentations spectrales, simplifie les équations différentielles linéaires et donne des identités de type Parseval reliant l'énergie dans les domaines temporel et fréquentiel.

Inversion

La transformée inverse reconstruit la fonction temporelle ou spatiale originale à partir de sa représentation fréquentielle ; l'absence d'inversibilité indique un défaut dans les hypothèses sur le domaine.

Limite

Définie classiquement pour les fonctions intégrables ou carrément intégrables et étendue aux distributions tempérées ; ne s'applique pas comme opération ponctuelle à des généralisées non tempérables.

Tension sémantique

Souvent comparée à la transformée de Laplace : les deux mappent vers des variables de type fréquence mais diffèrent par les domaines de convergence et le traitement de la croissance à l'infini.

Synthèse

Une application linéaire canonique entre descriptions temporelles/spatiales et fréquentielles qui encode une fonction en composantes sinusoïdales pondérées et transforme convolution/différenciation en multiplication/opérations algébriques.