Transformée intégrale qui envoie une fonction temporelle f(t) définie pour t ≥ 0 sur une fonction en fréquence complexe F(s) par F(s) = ∫_0^∞ e^{-s t} f(t) dt, avec une région de convergence dans le plan complexe s.

Principe

L'intégration pondérée par une exponentielle convertit les opérations de dérivation et de convolution dans le temps en opérations algébriques en la variable de fréquence complexe, permettant la résolution algébrique de problèmes linéaires invariants dans le temps.

Démonstration

Résoudre un problème différentiel linéaire à conditions initiales en transformant les deux membres par Laplace, en remplaçant les dérivées par des facteurs polynomiaux en s, en résolvant pour F(s), puis en appliquant la transformée inverse pour obtenir la solution temporelle.

Mauvaise application

Appliquer la transformée à des fonctions qui ne satisfont pas les conditions de croissance pour aucun s du plan complexe ou ignorer la région de convergence lors de l'inversion.

Conséquence

Donne des représentations de fonction de transfert pour systèmes causals, simplifie la prise en compte des conditions initiales et transforme la convolution en multiplication dans le domaine transformé.

Inversion

La transformée de Laplace inverse restitue la fonction temporelle d'origine ; néanmoins, plusieurs fonctions temporelles peuvent partager la même transformée hors de la région de convergence spécifiée.

Limite

Définie pour des fonctions sur [0, ∞) satisfaisant des conditions de croissance (ordre exponentiel) de sorte que l'intégrale converge ; non applicable directement à des signaux bilatéraux sans adaptation.

Tension sémantique

Se distingue de la transformée de Fourier : la Laplace utilise une variable de fréquence complexe avec pondération exponentielle et est adaptée aux problèmes causals à conditions initiales, tandis que Fourier met l'accent sur le contenu fréquentiel en régime permanent.

Synthèse

La transformée de Laplace est une application des signaux causals du domaine temporel vers des fonctions algébriques en fréquence complexe, convertissant dérivation et convolution en manipulations algébriques dans une région de convergence donnée.