Une fonction scalaire ou un opérateur linéaire qui génère l'évolution temporelle déterministe d'un système physique en mettant en relation coordonnées canoniques et moments conjugués (classique) ou qui joue le rôle d'opérateur d'énergie dans la dynamique quantique unitaire.

Principe

Les dérivées temporelles des observables sont données par un crochet bilinéaire avec le hamiltonien : crochet de Poisson en mécanique classique et commutateur (divisé par iħ) en mécanique quantique ; le hamiltonien encode les règles dynamiques du système et, le cas échéant, les grandeurs conservées de type énergie.

Démonstration

Particule classique : H(q,p)=p^2/(2m)+V(q) produit les équations de Hamilton q̇=∂H/∂p, ṗ=−∂H/∂q. Particule quantique : Ĥ=−(ħ^2/2m)∇^2+V(x) engendre l'évolution de Schrödinger iħ∂tψ=Ĥψ.

Mauvaise application

Prendre pour hamiltonien tout scalaire qualifié d'« énergie » sans vérifier les coordonnées canoniques ou en ignorant une dépendance explicite en temps conduit à un générateur de mouvement erroné ; appliquer la formalisation hamiltonienne à une dynamique intrinsèquement dissipative sans étendre la description d'état est incorrect.

Conséquence

Une identification correcte du hamiltonien fournit une règle déterministe d'évolution temporelle, des quantités conservées si le hamiltonien est indépendant du temps dans un système fermé, et une base pour construire des mesures invariantes et des états stationnaires.

Inversion

La perspective lagrangienne utilise les vitesses généralisées et une fonction d'action comme éléments primaires ; convertir un lagrangien en hamiltonien nécessite une transformée de Legendre non dégénérée et introduit des moments canoniques.

Limite

S'applique aux systèmes admettant une description canonique (coordonnées et moments) ou un opérateur d'énergie bien défini ; exclut les descriptions purement dissipatives phénoménologiques sauf si elles sont plongées dans un cadre conservatif plus vaste.

Tension sémantique

Le terme « hamiltonien » est souvent confondu avec « fonction énergie », mais en tant que générateur d'évolution il doit satisfaire les relations de crochet ; des scalaires de type énergie qui ne produisent pas ces crochets ne sont pas des hamiltoniens au sens strict.

Synthèse

Le hamiltonien est le générateur des dynamiques déterministes du système : une fonction ou un opérateur énergie qui, via les crochets canoniques, spécifie l'évolution temporelle et la structure des grandeurs conservées et des états stationnaires.