Une propriété topologique : un espace est compact si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini ; en espaces métriques elle équivaut souvent à la compacité séquentielle et, en espaces euclidiens, à être fermé et borné.

Principe

Une contrainte de type finitude qui empêche l'évasion à l'infini et permet d'extraire des sous-suites convergentes et l'atteinte d'extrémums pour les fonctions continues.

Démonstration

Tout sous-ensemble fermé et borné de R^n est compact : tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement fini (propriété de Heine–Borel) et les fonctions continues y atteignent leurs maxima et minima.

Mauvaise application

Considérer fermé et borné comme synonyme de compact dans des espaces fonctionnels de dimension infinie où des ensembles fermés et bornés peuvent ne pas être compacts.

Conséquence

La compacité garantit des propriétés de points d'accumulation, l'atteinte d'extrémums par continuité et la précompacité des images par applications continues.

Inversion

La non-compacte permet l'existence de suites sans sous-suite convergente (elles 's'échappent' ou oscillent), de sorte que des fonctions continues peuvent ne pas atteindre de bornes et que les infimum/supremum ne sont pas réalisés.

Limite

Notion purement topologique ; les équivalences avec la compacité séquentielle ou fermé-et-borné n'existent qu'avec une structure additionnelle (métrique, euclidienne). N'inclut pas la finitude au sens mesurable ou la tension probabiliste sauf relation explicite.

Tension sémantique

Souvent mise en contraste avec la complétude : la complétude concerne le comportement de suites de Cauchy relativement à une métrique, tandis que la compacité impose une finitude globale des recouvrements ; ce sont des propriétés indépendantes en général.

Synthèse

La compacité est une condition topologique de finitude qui assure que les recouvrements se réduisent à des sous-recouvrements finis, permettant l'extraction de sous-suites convergentes et contraignant les images continues à un comportement régulier (par ex. atteindre des extrêmes) dans son domaine.