Énoncé local garantissant que, au voisinage d'un point où un système d'équations différentiables F(x,y)=0 possède un jacobien non singulier par rapport à y, il existe une application différentiable y = g(x) résolvant le système sur un voisinage de ce point.

Principe

La résolvabilité locale des contraintes est contrôlée par l'inversibilité du bloc de dérivées partielles (jacobien) par rapport aux variables à éliminer ; l'inversibilité permet d'appliquer la réciproque sur les coordonnées éliminées.

Démonstration

Pour F(x,y) = y + x^2 - 1 en (x,y)=(0,1), la dérivée partielle ∂F/∂y = 1 est non nulle, donc il existe un voisinage où y = g(x) = 1 - x^2 définit la solution locale unique.

Mauvaise application

Prétendre que le théorème fournit une formule explicite globale ou l'appliquer lorsque la matrice jacobienne concernée est singulière, ce qui peut donner des fonctions locales inexistantes ou non uniques.

Conséquence

Une variété définie par des contraintes peut être paramétrée localement ; l'optimisation sous contraintes ou des dynamiques implicites peuvent être réduites à l'étude de cartes coordonnées explicites et de leurs dérivées.

Inversion

Si le bloc jacobien est singulier au point, l'inversion échoue et l'on peut obtenir une bifurcation, plusieurs branches locales ou aucune solution locale différentiable — la relation implicite ne peut pas être résolue globalement pour les variables choisies.

Limite

Exige une différentiabilité suffisante de F (généralement C^1) et l'inversibilité de la dérivée partielle relative aux variables éliminées ; ne couvre pas les relations non différentiables, les points à jacobien singulier ni la continuation globale hors du voisinage local.

Tension sémantique

Souvent confondu avec le théorème de la fonction inverse : les deux utilisent l'inversibilité des dérivées, mais le théorème inverse assure une inverse locale pour une application bijective sur l'ensemble des variables, tandis que le théorème implicite élimine un sous-ensemble de variables pour les exprimer en fonction des autres.

Synthèse

Résultat local d'existence et d'unicité : quand le jacobien relatif aux variables dépendantes choisies est non singulier, la relation F(x,y)=0 définit localement ces variables comme une fonction différentiable des autres.