En un point lisse d'une surface bidimensionnelle, la courbure gaussienne est le produit des deux courbures principales ; équivalemment, une mesure scalaire intrinsèque de la déviation locale de la surface par rapport à une isométrie au plan.

Principe

La courbure gaussienne dépend uniquement de la première forme fondamentale (la métrique induite sur la surface) et est invariante par isométries locales ; elle mesure la géométrie intrinsèque plutôt que la manière dont la surface est plongée dans l'espace ambiant.

Démonstration

Une sphère de rayon R a une courbure gaussienne constante K = 1/R^2 (positive) ; une selle standard a une courbure gaussienne négative ; un plan a K = 0.

Mauvaise application

Confondre la courbure gaussienne avec la courbure moyenne ou l'utiliser pour mesurer le pli extrinsèque ; l'appliquer à des points non lisses ou à des variétés de dimension supérieure sans adapter la notion conduit à des conclusions erronées.

Conséquence

Détermine le comportement local des géodésiques et la distorsion des aires ; l'intégrale de la courbure gaussienne sur une surface compacte est liée à des invariants topologiques, donc la courbure contrôle des contraintes topologiques globales.

Inversion

La courbure moyenne donne la moyenne des courbures principales et encode des informations de pli extrinsèque (dépendant de l'immerssion), tandis que la courbure gaussienne est multiplicative et intrinsèque ; les échanger inverse la perspective intrinsèque/extrinsèque.

Limite

Définie pour des surfaces riemanniennes bidimensionnelles lisses (plongées ou abstraites) en points réguliers ; non directement applicable aux surfaces non lisses, aux courbes ou aux tenseurs de courbure en dimension supérieure sans modification.

Tension sémantique

Souvent mise en regard de la courbure sectionnelle ou de la courbure moyenne : la courbure sectionnelle est un analogue en dimension supérieure défini sur des plans tangents de dimension deux, tandis que la courbure moyenne est une moyenne extrinsèque — la courbure gaussienne est le scalaire intrinsèque pour les surfaces 2D.

Synthèse

Invariante scalaire intrinsèque en un point d'une surface lisse égale au produit des courbures principales ; elle régit les propriétés géométriques locales et, par intégration, relie géométrie et topologie.