Technique numérique qui approxime les dérivées dans les équations différentielles par des quotients de différences algébriques sur une grille discrète, produisant un système d'équations algébriques dont les solutions approchent le problème continu.

Principe

Remplacer les opérateurs différentiels par des schémas discrets locaux (différences avant, arrière, centrées) dont l'erreur de troncature détermine l'ordre ; combiner consistance et stabilité pour obtenir la convergence de la solution discrète vers la continue.

Démonstration

Pour l'équation de Poisson unidimensionnelle u''(x)=f(x) sur [0,1], une différence centrale d'ordre deux donne (u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})/h^2 = f_i, conduisant à un système linéaire tridiagonal qui approxime le problème aux limites continu.

Mauvaise application

Utiliser un schéma de temps en différences finies instable pour un problème parabolique raide ou appliquer des schémas d'ordre faible sur des maillages grossiers en espérant une grande précision conduit à des oscillations parasites ou à l'échec de la convergence.

Conséquence

Transforme des problèmes aux valeurs limites ou aux valeurs initiales en systèmes algébriques linéaires ou non linéaires solvables par méthodes directes ou itératives ; le comportement de l'erreur suit l'interaction entre discrétisation (consistence), stabilité et résolution du maillage.

Inversion

Les méthodes spectrales ou à base globale remplacent les schémas locaux par des développements globaux et inversent le compromis localité–précision : elles peuvent être plus précises pour des solutions lisses mais moins flexibles pour des géométries complexes que les différences finies.

Limite

S'applique naturellement aux maillages structurés et aux domaines réguliers avec conditions aux limites simples ; les géométries irrégulières, les coefficients variables fortement anisotropes ou le besoin de formulations faibles peuvent privilégier d'autres discrétisations.

Tension sémantique

Souvent comparée aux méthodes d'éléments finis : les différences finies discrétisent les opérateurs différentiels forts par des schémas ponctuels, tandis que les éléments finis utilisent des formulations faibles et des fonctions de base, conduisant à des assemblages et des propriétés de convergence différents.

Synthèse

Approche de discrétisation par stencil local qui convertit des dérivées en différences algébriques sur une grille ; si elle est consistante et stable, elle fournit des approximations discrètes convergentes des problèmes différentiels adaptées aux solveurs numériques.