Un processus stochastique continu obtenu en conditionnant une marche aléatoire continue à trajectoires continues pour prendre des valeurs prescrites en deux instants, généralement zéro au départ et à l'instant terminal ; c'est la loi des trajectoires de ce processus soumise à ces contraintes aux extrémités.

Principe

Un ensemble de trajectoires est modifié par une contrainte aux bornes qui fixe les extrémités, produisant des accroissements dépendants et une structure de covariance déterminée par le conditionnement.

Démonstration

Trajectoires échantillonnées sur l'intervalle [0,T] qui commencent en 0 et doivent revenir en 0 à l'instant T ; les fluctuations intermédiaires ont une variance plus faible près des extrémités qu'au milieu.

Mauvaise application

Considérer le processus comme ayant des accroissements indépendants ou comme stationnaire dans le temps ; l'utiliser pour modéliser des processus à sauts ou dont la variance aux extrémités est fixe et non nulle.

Conséquence

Fournit un modèle canonique pour les fluctuations contraintes utilisé en tests d'hypothèse, calibration de bandes de confiance et modélisation de diffusions conditionnées.

Inversion

Le processus continu non contraint avec extrémités libres, qui présente des accroissements stationnaires et une variance plus élevée aux extrémités.

Limite

S'applique aux processus à temps continu et trajectoires continues avec contraintes explicites aux extrémités ; exclut les processus à sauts, les marches en temps discret sans interpolation et les lois diffuses non contraintes.

Tension sémantique

Ensembles de trajectoires contraints (pont) versus libres : tous deux dérivent de la même loi non contrainte mais diffèrent par le conditionnement aux extrémités qui modifie la dépendance.

Synthèse

Un pont brownien est l'ensemble des trajectoires continues obtenu lorsqu'un processus diffusif continu est conditionné à prendre des valeurs données aux extrémités, produisant un modèle de fluctuations non stationnaire et fixées aux bornes.