Une orbite périodique fermée et isolée dans le portrait de phase d'un système dynamique autonome à temps continu, invariante par le flot et possédant un voisinage sans autres orbites périodiques distinctes ; elle peut être attractive, répulsive ou de type selle selon ses propriétés de stabilité transversale.

Principe

Un cycle limite se caractérise par l'isolement (absence d'une famille continue voisine d'orbites périodiques) et par une stabilité orbitale qui détermine si les trajectoires voisines convergent vers le cycle, s'en éloignent ou l'intersectent transversalement.

Démonstration

L'oscillateur de van der Pol possède un unique cycle limite attractif pour certaines valeurs de paramètres : les trajectoires issues de conditions initiales différentes convergent en phase et en amplitude vers la même orbite fermée.

Mauvaise application

Qualifier toute solution périodique de cycle limite alors qu'elle appartient à une famille continue d'orbites périodiques (un centre) ou lorsque le système est non autonome et que l'orbite n'est pas invariante par un flot autonome.

Conséquence

L'existence d'un cycle limite stable implique des oscillations auto‑entretenues persistantes, robustes face à de petites perturbations, et un comportement asymptotique indépendant des conditions initiales dans son bassin d'attraction.

Inversion

Un point d'équilibre (point fixe) ou un tore quasipériodique, qui sont des ensembles invariants présentant des dynamiques locales et des caractéristiques de stabilité fondamentalement différentes d'une orbite périodique isolée.

Limite

Défini pour des systèmes autonomes à temps continu de dimension finie (équations différentielles ordinaires) ; les orbites périodiques dans des systèmes forcés/non autonomes ou dans des applications discrètes requièrent des notions adaptées (réponse forcée ou points périodiques).

Tension sémantique

Souvent opposé à un centre (famille non isolée d'orbites périodiques) ou à des cycles neutres ; la tension clé porte sur l'isolement et la stabilité transversale versus les familles marginales d'orbites.

Synthèse

Un cycle limite est une trajectoire fermée et isolée d'une EDO autonome dont les propriétés de stabilité transversale déterminent si elle organise des oscillations soutenues et robustes du système.