Une solution de viscosité est une notion généralisée de solution pour certaines équations aux dérivées partielles non linéaires d'ordre un ou deux, définie par comparaison avec des fonctions test lisses plutôt que par des dérivées classiques point par point.

Principe

Caractériser les sous- et sur-solutions admissibles par tangence locale avec des fonctions test C^∞ et imposer un principe de comparaison qui sélectionne une solution continue unique sous conditions appropriées.

Démonstration

Pour l'équation de Hamilton–Jacobi u_t + H(x,Du)=0 sur R^n, une fonction continue u est sous-solution de viscosité si, pour toute φ lisse telle que u−φ admet un maximum local en x0, on a φ_t(x0)+H(x0,Dφ(x0))≤0 (et de façon analogue pour les sur-solutions).

Mauvaise application

Considérer une solution de viscosité comme une solution au sens distributionnel ou de Sobolev et appliquer des identités d'intégration par parties nécessitant des dérivées presque partout peut conduire à des conclusions erronées sur l'unicité ou la régularité.

Conséquence

Lorsque le principe de comparaison est vérifié, on obtient existence et unicité dans le cadre des solutions de viscosité ; stabilité par limites uniformes et par schémas d'approximation monotones est assurée.

Inversion

Une solution classique satisfait l'équation PDE point par point avec les dérivées requises — si une solution classique existe, elle est aussi solution de viscosité ; l'inverse montre que les solutions de viscosité étendent les solutions classiques.

Limite

S'applique aux PDE pleinement non linéaires où les solutions classiques peuvent faire défaut ; ce n'est pas un substitut aux formulations faibles distributionnelles pour les PDE linéaires où d'autres cadres faibles sont standard.

Tension sémantique

Tension avec la notion de solution distributionnelle : les solutions de viscosité reposent sur la comparaison locale avec des tests lisses, tandis que les solutions distributionnelles utilisent des identités intégrales et sont liées aux espaces fonctionnels.

Synthèse

La solution de viscosité est le concept généralisé, fondé sur la comparaison et stable, pour résoudre des PDE non linéaires quand les dérivées font défaut, étendant les solutions classiques et assurant le bien‑posé.