Opération bilinéaire et antisymétrique sur les fonctions lisses d'une variété symplectique (ou de Poisson) qui produit une nouvelle fonction et encode le générateur infinitésimal des flux hamiltoniens.

Principe

Structure algébrique et géométrique : le crochet satisfait la règle de Leibniz et l'identité de Jacobi, conférant aux fonctions lisses une structure d'algèbre de Lie et associant à chaque fonction un champ de vecteurs hamiltonien.

Démonstration

Dans les coordonnées canoniques (q_i,p_i) les crochets fondamentaux sont {q_i,q_j}=0, {p_i,p_j}=0, {q_i,p_j}=δ_{ij} ; le crochet de H (hamiltonien) avec un observable f donne la dérivée temporelle df/dt = {f,H} le long du flux hamiltonien.

Mauvaise application

Appliquer la formule du crochet de Poisson sur une variété dépourvue d'un champ bivecteur compatible ou ignorer l'identité de Jacobi lors de la proposition d'un crochet candidate conduit à une dynamique invalide.

Conséquence

Fournit le mécanisme des quantités conservées, des symétries et des intégrales du mouvement ; définit des ensembles involutifs d'observables et sous-tend les transformations canoniques.

Inversion

Le commutateur quantique [A,B] représente l'analogue non commutatif ; l'inversion formelle remplace les crochets de Poisson par (i/ħ) fois les commutateurs lors de la quantification.

Limite

Nécessite une variété lisse munie d'un bivecteur de Poisson (ou d'une forme symplectique) ; sur des espaces singuliers ou des espaces d'états discrets, la structure de crochet continue ne s'applique pas sans généralisation.

Tension sémantique

Souvent opposé au commutateur d'opérateurs en mécanique quantique ; bien que reliés par la quantification, le crochet de Poisson est une structure de Lie classique sur fonctions commutatives, non un commutateur d'opérateurs.

Synthèse

Le crochet de Poisson est l'opération bilinéaire de type algèbre de Lie sur les observables lisses qui engendre la dynamique hamiltonienne, encode les quantités conservées et organise la structure de l'espace des phases classique.