Opérateur différentiel linéaire d qui envoie les k-formes sur les (k+1)-formes sur une variété lisse, est anticommutatif gradué pour le produit extérieur et vérifie d ∘ d = 0.

Principe

C'est l'antidérivation de degré 1 unique sur l'algèbre extérieure des formes différentielles qui prolonge la différentielle des fonctions et qui s'annule au carré, codant les données de bord infinitésimales indépendantes d'une connexion.

Démonstration

Sur R^3, pour une fonction scalaire f, la différentielle extérieure est df = ∂_x f dx + ∂_y f dy + ∂_z f dz ; pour une 1-forme α = P dx + Q dy + R dz, dα = (∂_y R − ∂_z Q) dy∧dz + (∂_z P − ∂_x R) dz∧dx + (∂_x Q − ∂_y P) dx∧dy.

Mauvaise application

Traiter d comme une dérivée partielle composante par composante qui commute avec l'échange de facteurs (ignorant le wedge) ou l'appliquer à des tenseurs quelconques sans antisymétrisation produit des signes incorrects et une perte d'invariance de coordonnées.

Conséquence

Un usage correct construit le complexe de de Rham ... → Ω^k →^d Ω^{k+1} → ... dont la cohomologie classe les obstructions globales et quantités conservées indépendantes des coordonnées locales.

Inversion

Le produit intérieur (contraction) par un champ de vecteurs ou la codifférentielle δ abaissent le degré et inversent la flèche de d ; ce sont des opérations de type adjoint plutôt que des antidérivations de degré 1.

Limite

Définie sur les formes différentielles d'une variété lisse (ou sur des distributions adaptées) ; elle ne s'applique pas directement à des tenseurs multilinéaires quelconques sauf s'ils sont antisymétrisés en formes.

Tension sémantique

Souvent comparée à une dérivée covariante : la différentielle extérieure est indépendante de la métrique et de la connexion et agit sur des formes antisymétriques, tandis qu'une dérivée covariante dépend d'une connexion choisie et agit sur des tenseurs quelconques.

Synthèse

La différentielle extérieure est l'antidérivation canonique, invariante par changement de coordonnées, qui augmente le degré des formes d'un et s'annule au carré, formant la base du calcul de cohomologie de de Rham.