Une statistique obtenue en classant un échantillon d'observations par ordre croissant et en sélectionnant le k-ième élément ; la k-ième statistique d'ordre généralise minima, maxima et quantiles empiriques.

Principe

Le classement d'un échantillon fini induit une suite de variables aléatoires dépendantes dont les lois reflètent la taille de l'échantillon et la loi parentale ; les statistiques d'ordre résument la position distributive sans hypothèses paramétriques.

Démonstration

Pour un échantillon de taille n, la médiane empirique est la statistique d'ordre avec k = (n+1)/2 (pour n impair) ou une valeur entre les statistiques d'ordre n/2 et n/2+1 (pour n pair) ; le minimum et le maximum sont respectivement la 1re et la n-ième statistique d'ordre.

Mauvaise application

Considérer une statistique d'ordre comme égale au quantile de la population correspondant sans tenir compte de la variabilité d'échantillonnage ou du biais en petit échantillon conduit à des inférences excessivement confiantes.

Conséquence

Les statistiques d'ordre fondent l'estimation d'intervalle non paramétrique, des estimateurs robustes comme la moyenne tronquée, et l'analyse des valeurs extrêmes ; leurs lois d'échantillonnage permettent énoncer des intervalles de confiance et corriger les biais.

Inversion

L'échantillon non ordonné (multiensemble) contient les mêmes valeurs mais sans information de position ; sans classement, on ne peut définir minima, maxima ou médianes comme statistiques d'échantillon uniques.

Limite

Définie uniquement pour des échantillons issus d'un ensemble totalement ordonné ; ne s'applique pas directement aux observations vectorielles sans choix d'ordre ni aux données avec égalités qui exigent une convention de départage.

Tension sémantique

Étroitement liée aux quantiles d'échantillon et à la fonction de répartition empirique ; les statistiques d'ordre sont les éléments positionnels bruts, tandis que les quantiles interpolent souvent entre elles et dépendent de conventions.

Synthèse

La statistique d'ordre est la k-ième plus petite observation d'un échantillon : un résumé simple et peu exigeant en hypothèses qui traduit un échantillon en position distributive et sert de base à l'inférence robuste et non paramétrique.