Le coefficient de (z − z0)^{-1} dans le développement de Laurent d'une fonction complexe autour d'une singularité isolée z0 ; il capture le comportement singulier principal pertinent pour les intégrales de contour.

Principe

Le comportement local près d'une singularité isolée est encodé par la série de Laurent ; le résidu est le coefficient unique dont l'intégrale autour d'un petit contour vaut 2πi fois ce coefficient.

Démonstration

Pour un pôle simple en z0, Res_{z0} f = lim_{z→z0} (z−z0) f(z). Pour f(z)=1/(z−z0), le résidu vaut 1 et ∮_C f(z) dz = 2πi.

Mauvaise application

Tenter de calculer des résidus en des points de branchement ou des singularités non isolées en utilisant la formule du pôle simple conduit à des erreurs ; les résidus exigent des singularités isolées ou un traitement approprié des coupures de branche.

Conséquence

Les résidus permettent d'évaluer exactement des intégrales de contour et des séries via le théorème des résidus, réduisent des intégrales complexes à des calculs algébriques de résidus et classent les singularités selon la nullité ou non du résidu.

Inversion

Un résidu nul en une singularité isolée n'implique pas nécessairement que la singularité soit évitable ; il peut s'agir d'un pôle d'ordre supérieur dont les coefficients s'annulent pour le terme (z−z0)^{-1}.

Limite

Défini uniquement pour des singularités isolées (pôles, singularités évitables, singularités essentielles) dans des régions où une série de Laurent existe ; non défini pour des singularités non isolées ou à travers des coupures de branche sans précision.

Tension sémantique

Confondu avec l'extraction de coefficients dans une série de Taylor ou avec la partie principale : le résidu est spécifiquement le coefficient de (z−z0)^{-1} dans la série de Laurent, tandis que d'autres coefficients décrivent le comportement régulier ou les singularités d'ordre supérieur.

Synthèse

Un résidu complexe est le coefficient de Laurent d'ordre −1 en une singularité isolée qui encapsule la contribution singulière locale et détermine la valeur des intégrales de contour avoisinantes.