Une famille {T(t)}_{t≥0} d'opérateurs linéaires sur un espace vectoriel ou un espace de Banach vérifiant T(0)=I et T(s+t)=T(s)T(t) pour tous s,t≥0 ; lorsque fortement continue, t↦T(t)x est continue pour chaque x.

Principe

Loi de composition pour l'évolution vers l'avant : la propriété de semi-groupe encode l'application successive pour des incréments de paramètre non négatifs et modélise des dynamiques irréversibles ou dirigées dans le temps sans exiger d'inverses.

Démonstration

L'évolution thermique sur L^2 est fournie par une famille d'opérateurs linéaires bornés T(t) qui envoie une distribution de température initiale à son état au temps t et satisfait T(s+t)=T(s)T(t) ainsi que la continuité forte en t.

Mauvaise application

Traiter un semi-groupe comme un groupe et supposer l'inversibilité pour tout t (étendre aux temps négatifs) sans vérifier l'existence d'inverses, ou ignorer la continuité en employant des semi-groupes purement algébriques là où limites et générateurs sont requis.

Conséquence

Lorsque la famille est fortement continue, elle admet un générateur infinitésimal, densément défini (éventuellement non borné), qui caractérise l'évolution infinitésimale et permet de résoudre des équations d'évolution linéaires via le calcul fonctionnel.

Inversion

Un groupe à deux sens d'opérateurs (un groupe) où chaque élément possède un inverse et le paramètre parcourt tous les réels, autorisant une évolution temporelle réversible.

Limite

La définition limite le paramètre aux réels non négatifs ; la linéarité et la topologie choisie (forte, uniforme) importent pour les applications — les semi-groupes non linéaires ou discrets restent hors de ce cadre linéaire continu.

Tension sémantique

Semi-groupe versus semi-groupe discret : un semi-groupe uniparamétrique continu encode une évolution en temps continu et une théorie de générateur analytique, tandis qu'un semi-groupe discret ne retient que les itérés sans structure de générateur infinitésimal.

Synthèse

Un semi-groupe à paramètre unitaire d'opérateurs est une famille indexée par le temps sur un espace vectoriel ou de Banach qui satisfait l'identité en zéro et la loi additive de composition pour paramètres non négatifs, dont la continuité détermine l'existence d'un générateur décrivant le changement infinitésimal.