Une mesure à valeurs projectives (ou scalaire) sur le spectre d'un opérateur qui décompose l'opérateur en composantes spectrales et attribue des poids aux plages de fréquence ou d'énergie.

Principe

Selon le théorème spectral, un opérateur normal (ou auto-adjoint) peut être représenté comme une intégrale sur son spectre par rapport à une mesure spectrale ; cette mesure détermine le calcul fonctionnel et les projections spectrales.

Démonstration

Pour un opérateur de multiplication auto-adjoint (M_f) sur L2, la mesure spectrale concentrée sur les valeurs de f donne des projecteurs sur les sous-espaces où f prend des valeurs dans des ensembles boréliens spécifiés.

Mauvaise application

Employer une mesure spectrale construite pour un opérateur borné auto-adjoint pour traiter un opérateur non normal ou non borné sans contrôle du domaine peut produire des décompositions invalides et une mauvaise identification des types spectraux.

Conséquence

Une mesure spectrale correctement identifiée permet de calculer l'évolution e^{itA}, de distinguer spectre continu et discret, et de fonder des distributions de probabilité pour les résultats de mesure en contexte quantique.

Inversion

Remplacer une mesure spectrale par un simple ensemble spectre (points du spectre) supprime l'information de multiplicité et de pondération ; l'ensemble seul ne permet pas de reconstruire l'action de l'opérateur ni ses projecteurs.

Limite

S'applique aux opérateurs sur espaces de Hilbert satisfaisant les hypothèses du théorème spectral ; ne s'étend pas simplement aux opérateurs non normaux généraux ni aux opérateurs sans résolution de l'identité.

Tension sémantique

Tension avec la notion informelle de « spectre » comme ensemble de fréquences ; la mesure spectrale raffine cet ensemble en spécifiant le type spectral (point pur, absolument continu, singulier) et la multiplicité.

Synthèse

Une mesure spectrale est l'objet mesure-théorique qui, conjointement au spectre, encode complètement comment un opérateur se décompose en composantes spectrales orthogonales et comment les fonctions de l'opérateur agissent.