Pour une fonction à valeurs réelles étendues f sur un espace vectoriel, le conjugué de Fenchel f* est la fonction f*(y) = sup_x (⟨y,x⟩ − f(x)), qui associe aux coûts primaux des représentations convexes duales.

Principe

La transformée convertit des pénalités ponctuelles en fonctions duales de type support ; sous convexité et semi-continuité inférieure, le biconjugué recouvre l'enveloppe convexe et les relations de dualité lient les sous-différentiels aux maximisateurs dans la définition par sup.

Démonstration

Pour une quadratique f(x)=½ x^T Q x avec Q définie positive, le conjugué est une autre quadratique f*(y)=½ y^T Q^{-1} y, et l'optimalité du sup relie y à Qx.

Mauvaise application

Appliquer la formule du conjugué à des fonctions non convexes sans passer par l'enveloppe convexe ou ignorer les conventions de valeurs étendues conduit à des duaux incorrects ; inverser les rôles des variables en dimension infinie sans précautions topologiques est également erroné.

Conséquence

La conjugaison de Fenchel fournit une construction systématique de problèmes duaux, donne des représentations variationnelles (par ex. fonctions de support, duaux d'indicateurs) et fonde des algorithmes d'optimisation convexe et des conditions d'optimalité.

Inversion

La transformée de Legendre classique est un cas particulier exigeant différentiabilité et convexité stricte ; la conjugaison de Fenchel la généralise aux fonctions convexes nondifférentiables et à valeurs étendues.

Limite

Définie dans le cadre de l'analyse convexe pour des fonctions pouvant prendre +∞ ; elle requiert un produit scalaire ⟨·,·⟩ et une topologie adaptée pour l'égalité entre biconjugué et fonction originale.

Tension sémantique

Conjugué de Fenchel versus transformée de Legendre : les deux mappent vers des fonctionnelles duales mais diffèrent par les exigences de régularité et le domaine d'application (Fenchel gère la nondifférentiabilité et les contraintes via +∞).

Synthèse

Le conjugué de Fenchel est la transformée de l'analyse convexe qui associe à une fonction ses minorants affines suprêmes, construisant une représentation duale essentielle en dualité convexe et analyse variationnelle.