Une technique numérique pour approcher les solutions d'équations aux dérivées partielles et de problèmes variationnels en subdivisant le domaine en petits éléments de forme simple et en utilisant des fonctions de base polynomiales par morceaux pour construire une solution approchée globale.

Principe

Formuler le problème en forme variationnelle sur le domaine, choisir un espace de dimension finie engendré par des fonctions locales supportées sur les éléments du maillage, assembler le système linéaire ou non linéaire résultant par intégrations élémentaires, puis résoudre pour le vecteur de coefficients définissant la solution approchée.

Démonstration

Pour approximer −Δu=f sur un domaine polygonal avec conditions de Dirichlet, trianguler le domaine, prendre des fonctions de base linéaires par morceaux sur les triangles, assembler la matrice de raideur en intégrant les produits de dérivées des bases sur chaque triangle et résoudre le système linéaire creux pour les valeurs nodales approchant u.

Mauvaise application

Employer des maillages trop grossiers sans vérification de convergence donne des résultats trompeurs ; utiliser des bases polynomiales élémentaires sans garantir la continuité inter-éléments requise par le problème (p.ex. des bases discontinues alors que la continuité est nécessaire) aboutit à des approximations incorrectes.

Conséquence

Lorsque la résolution du maillage, l'ordre des éléments et la précision du solveur sont choisis de façon compatible, la méthode converge vers la solution vraie avec des taux prévisibles, produit des systèmes creux exploitables par solveurs efficaces et s'adapte naturellement à des géométries complexes.

Inversion

L'approche inverse est l'approximation spectrale globale sur tout le domaine avec fonctions de base à support global ; cela peut offrir une convergence plus rapide pour des coefficients réguliers mais perd en localité et en flexibilité de maillage.

Limite

Destinée aux problèmes aux limites et variationnels sur des domaines malléables par maillage ; ce n'est pas une boîte noire pour toutes les EDP — la formulation doit respecter la régularité, les conditions aux limites et la compatibilité des espaces de fonctions.

Tension sémantique

Alternatives proches : méthodes aux différences finies qui discrétisent les dérivées sur des grilles (simples mais moins de flexibilité géométrique) et méthodes spectrales qui utilisent des bases globales (grande précision pour des problèmes lisses mais faible résolution locale).

Synthèse

La méthode des éléments finis transforme un problème variationnel continu en un système algébrique de dimension finie par approximation locale sur des éléments du maillage et assemblage, conciliant localité, flexibilité géométrique et contrôle systématique de la convergence.