La tendance des interpolants polynomiaux de haut degré construits sur des nœuds équidistants à présenter de grandes oscillations près des extrémités de l'intervalle, produisant une mauvaise approximation uniforme malgré la convergence en de nombreux points intérieurs.

Principe

L'interpolation polynomiale sur nœuds uniformes amplifie les erreurs de conditionnement et l'influence des polynômes de degré élevé près des bords, entraînant une convergence non uniforme.

Démonstration

L'interpolation de f(x)=1/(1+25x^2) sur [-1,1] avec des nœuds également espacés et un degré polynomial croissant engendre des oscillations croissantes aux extrémités, alors que l'utilisation de nœuds de Chebyshev atténue l'effet.

Mauvaise application

Supposer qu'augmenter le degré polynomiale avec des échantillons uniformes améliore toujours l'approximation uniforme conduit à des résultats dégradés et à une instabilité numérique.

Conséquence

Pousse à adopter des distributions de nœuds non uniformes, l'interpolation par morceaux (splines) ou des méthodes spectrales avec polynômes orthogonaux pour obtenir des approximations uniformes stables.

Inversion

Remplacer des polynômes globaux de haut degré sur nœuds équidistants par des polynômes locaux de faible degré ou par des développements globaux sur nœuds de type Chebyshev inverse le comportement oscillatoire.

Limite

S'applique spécifiquement à l'interpolation polynomiale sur des intervalles compacts avec nœuds équidistants ; n'exclut pas de bonnes approximations obtenues par d'autres bases ou par des polynômes avec jeux de nœuds adaptés.

Tension sémantique

Contraste avec les affirmations de convergence spectrale pour les développements en polynômes orthogonaux où un choix de nœuds approprié donne une convergence uniforme rapide pour des fonctions régulières.

Synthèse

Un phénomène d'instabilité d'interpolation montrant que l'ajustement polynomiale naïf de haut degré sur des points équidistants peut empirer l'approximation près des bords, motivant des choix de nœuds meilleurs ou des méthodes locales.