Une variété invariante tangente en un point d'équilibre à l'espace propre central (l'espace engendré par les vecteurs propres de la linéarisation de partie réelle nulle), dont la dynamique locale capturent les directions neutres et déterminent les bifurcations et le comportement asymptotique près de l'équilibre.

Principe

Réduction des dynamiques : la dynamique près d'un équilibre se décompose en directions stables, instables et centrales ; les trajectoires convergent rapidement vers une variété centrale de faible dimension et l'évolution ultérieure est gouvernée par des équations réduites sur cette variété.

Démonstration

Pour une EDO dont la jacobienne en un équilibre a une valeur propre nulle et les autres valeurs propres de partie réelle négative, il existe une variété centrale W^c unidimensionnelle près de l'équilibre ; l'équation réduite scalaire sur W^c gouverne si une bifurcation de type nœud-selle ou transcritique se produit.

Mauvaise application

Supposer que la variété centrale est définie globalement ou analytique sans vérification ; en général elle n'est garantie que localement et sa régularité est limitée par celle du champ de vecteurs (lisse, pas nécessairement analytique).

Conséquence

Permet une réduction finie de la dynamique locale, l'identification et la classification des bifurcations, et la construction de formes normales ; simplifie l'analyse de la stabilité et du comportement à long terme près des équilibres.

Inversion

Variétés stables ou instables : variétés invariantes tangentes aux sous-espaces dont les parties réelles des valeurs propres sont strictement négatives ou positives, qui attirent ou repoussent les trajectoires au lieu de coder des dynamiques lentes neutres.

Limite

Définie localement près des équilibres pour des systèmes dynamiques lisses de dimension finie ; ne s'applique pas loin de l'équilibre, aux systèmes sans séparation spectrale entre zéro et les parties réelles non nulles, ni directement aux systèmes de dimension infinie sans structure supplémentaire.

Tension sémantique

En tension avec le concept de variété inerte pour les EDP : les variétés centrales concernent des réductions locales de dimension finie près des équilibres, tandis que les variétés inertes affirment l'existence globale de variétés attractives de dimension finie sous des conditions de séparation spectrale pour des EDP dissipatives.

Synthèse

Une variété centrale est la variété invariante locale tangente à l'espace propre neutre en un équilibre qui capture la dynamique lente neutre ; réduire le système à cette variété donne les équations effectives de faible dimension gouvernant les bifurcations et le comportement près de l'équilibre.