Une inégalité bornant la norme L^p d'une fonction (après élimination d'un mode rigide comme la moyenne ou la trace au bord) par la norme L^p de son gradient sur un domaine, montrant que le gradient contrôle l'oscillation de la fonction à une constante près.

Principe

Principe de coercivité : sur un domaine borné avec contraintes appropriées (p.ex. moyenne nulle ou conditions de Dirichlet), il existe une constante C telle que ||u−u_moy||_{L^p} ≤ C ||∇u||_{L^p}, indiquant que la norme du gradient contrôle la fonction modulo le noyau du gradient (constantes).

Démonstration

Sur un domaine borné à bord Lipschitz Ω et p∈[1,∞), l'inégalité de Poincaré classique affirme pour u∈W^{1,p}(Ω) avec ∫_Ω u=0 que ||u||_{L^p(Ω)} ≤ C(Ω,p) ||∇u||_{L^p(Ω)} ; elle sert à obtenir la coercivité des formes bilinéaires en formulations faibles.

Mauvaise application

Appliquer l'inégalité sur un domaine non borné sans modification, ou omettre d'éliminer le noyau (constantes) de sorte que le membre de gauche puisse être arbitrairement grand par rapport au gradient, rend l'estimation invalide.

Conséquence

Elle fournit la coercivité dans les problèmes variationnels, la compacité pour des suites à gradients bornés, des constantes de Poincaré quantifiant la dépendance géométrique, et constitue une clef pour les preuves d'existence/unicité en EDP elliptiques.

Inversion

Inverser l'inégalité reviendrait à contrôler le gradient par la norme de la fonction seule, ce qui est en général faux (on peut avoir une petite norme L^p et des gradients oscillatoires de grande amplitude); le contrôle gradient→fonction est donc directionnel et non symétrique.

Limite

Valable sous hypothèses sur le domaine et les contraintes (bornitude, connexité, conditions aux limites appropriées ou contrainte moyenne nulle) ; les constantes dépendent de la géométrie du domaine et l'inégalité échoue sur domaines dépourvus de ces propriétés ou pour fonctions hors de la classe de Sobolev.

Tension sémantique

Liée aux inégalités de Friedrichs et de Sobolev : Friedrichs est une variante pour fonctions s'annulant sur une partie du bord ; les inégalités de Sobolev renforcent Poincaré en donnant des injections des gradients vers des normes L^q supérieures selon la dimension.

Synthèse

L'inégalité de Poincaré exprime que, sur des domaines appropriés et après élimination des modes rigides, la taille en L^p d'une fonction est contrôlée par la taille en L^p de son gradient : une assertion quantitative de coercivité liant oscillation et amplitude des dérivées.