Une décomposition orthogonale de l'espace des k‑formes différentielles sur une variété riemannienne orientée compacte en parties exactes, coexactes et harmoniques : toute forme s'écrit dα + δβ + γ avec dγ = δγ = 0.

Principe

En utilisant le Laplacien de Hodge (Δ = dδ + δd) et la théorie elliptique sur variétés compactes, les formes se décomposent orthogonalement en les images de d et δ et le noyau de Δ (formes harmoniques) de dimension finie, fournissant des représentants analytiques des classes de cohomologie de de Rham.

Démonstration

Sur une sphère riemannienne orientée compacte de dimension 2, l'espace des 1‑formes se décompose et les 1‑formes harmoniques sont triviales, ce qui reflète la nullité du premier groupe de cohomologie de de Rham H^1(S^2)=0.

Mauvaise application

Supposer que la même décomposition orthogonale vaut sans métrique riemannienne, sur des variétés non compactes, ou ignorer les questions de domaine pour des opérateurs non bornés peut conduire à des affirmations incorrectes sur les représentants harmoniques.

Conséquence

Fournit des représentants canoniques pour la cohomologie, la régularité elliptique pour les solutions des équations en d et δ, et sous-tend de nombreux outils analytiques reliant topologie et géométrie (p. ex. théorèmes d'indice, théorie de Hodge).

Inversion

Dans la théorie algébrique pure de de Rham, sans structure analytique, on dispose de groupes de cohomologie mais pas de représentants harmoniques canoniques ni de décompositions orthogonales en L^2 fournies par la métrique et la théorie des opérateurs elliptiques.

Limite

Nécessite une métrique riemannienne lisse et une compacité adéquate (ou des conditions aux limites spécifiées) pour assurer l'ellipticité et la finitude des espaces harmoniques ; sur les variétés non compactes il faut imposer des conditions de croissance ou L^2.

Tension sémantique

Tension entre descriptions topo‑algébriques de la cohomologie (classes de de Rham) et représentants harmoniques dépendant de la métrique ; la décomposition de Hodge se situe à leur intersection mais ajoute des données métriques.

Synthèse

La décomposition de Hodge est la séparation orthogonale induite par la métrique des formes différentielles en parties exactes, coexactes et harmoniques sur variétés riemanniennes compactes, fournissant des représentants analytiques de la cohomologie topologique et reliant géométrie et topologie.