Une fonction de base radiale (RBF) est une fonction phi(r) dont la valeur dépend uniquement de la distance radiale r = ||x - c|| par rapport à un centre c ; les RBF servent de noyaux isotropes pour l'interpolation, l'approximation et les méthodes sans maillage.

Principe

Isotropie et invariance par translation : une RBF centrée en c génère des translatés phi(||x - c||) qui ne dépendent que de la distance, permettant l'interpolation sur données dispersées par combinaisons linéaires de ces noyaux radialement symétriques.

Démonstration

Un exemple courant est la RBF gaussienne phi(r)=exp(-(epsilon r)^2) ; pour des points dispersés {c_i} et des valeurs {y_i}, l'interpolant s(x)=∑_i a_i phi(||x - c_i||) se calcule en résolvant le système linéaire Phi a = y avec Phi_{ij}=phi(||c_i - c_j||).

Mauvaise application

Choisir le paramètre de forme d'une RBF (p. ex. epsilon) sans tenir compte de l'échelle ou du conditionnement numérique ; epsilon trop petit produit des systèmes mal conditionnés et une instabilité numérique, trop grand produit un sur-lissage.

Conséquence

Les RBF offrent une interpolation et une approximation flexibles indépendantes de la dimension, servent de base aux méthodes à noyau et aux espaces de noyaux reproduisants pour les RBF définies-positives, et facilitent des solveurs sans maillage pour EDP.

Inversion

Des fonctions de base anisotropes ou directionnelles dépendent des déplacements vectoriels plutôt que de la distance radiale ; elles modélisent mieux des caractéristiques directionnelles mais perdent l'isotropie et la structure simple de translation radiale des RBF.

Limite

La formalisation RBF suppose une dépendance uniquement à la distance euclidienne et des combinaisons linéaires de translatés ; les noyaux dépendant du produit scalaire ou de métriques anisotropes ne font pas partie de la classe RBF, et un mauvais posé peut survenir sans définie-positivité.

Tension sémantique

Tension entre le choix de noyaux radiaux pour l'isotropie et de noyaux anisotropes pour la précision directionnelle ; également entre fidélité d'interpolation et conditionnement numérique contrôlé par le paramètre de forme.

Synthèse

Une fonction de base radiale est un noyau dépendant de la distance phi(||x - c||) utilisé comme brique isotrope dont les translatés forment des espaces linéaires pour l'interpolation de données dispersées et l'approximation sans maillage, conciliant localité, régularité et conditionnement via sa forme.