Mode de convergence pour des mesures de probabilité sur un espace métrique (ou topologique) : une suite μ_n converge faiblement vers μ si ∫ f dμ_n → ∫ f dμ pour toute fonction test continue bornée f (équivalent via les fonctions de distribution aux points de continuité ou les conditions du théorème de Portmanteau).

Principe

La convergence faible est la convergence des espérances par rapport à des observables continues bornées ; elle saisit la convergence des distributions macroscopiques tout en ignorant les oscillations à petite échelle invisibles aux tests continus.

Démonstration

Soit μ_n la distribution uniforme sur [0,1/n]. Pour toute fonction continue bornée f sur R, ∫ f dμ_n → f(0), donc μ_n converge faiblement vers la mesure de Dirac en 0.

Mauvaise application

Prétendre que la convergence faible implique la convergence des densités en L^1 ou la convergence des probabilités de bords d'ensembles ; la convergence faible ne contrôle pas la variation totale ni les fonctions tests non bornées sans conditions supplémentaires sur les moments.

Conséquence

La convergence faible entraîne la convergence des intégrales pour les fonctions continues bornées et suffit pour de nombreux théorèmes limites (par ex. formulations du théorème central limite en loi) ; elle permet la compacité via le théorème de Prokhorov sous la condition de serrage (tightness).

Inversion

La convergence forte (en variation totale) implique la convergence faible mais pas l'inverse ; des suites peuvent converger faiblement tout en gardant des oscillations de masse substantielles à petite échelle ou en s'échappant d'une manière invisible aux tests continus bornés.

Limite

Définie typiquement pour les mesures de probabilité boréliennes sur des espaces métriques ; elle diffère de la convergence vague (tests seulement contre fonctions continues à support compact) et nécessite le serrage pour la compacité séquentielle dans les espaces non compacts.

Tension sémantique

Tension entre convergence faible et modes comme la variation totale ou la convergence des moments : la convergence faible est plus faible et de nature topologique, tandis que des normes plus fortes apportent un contrôle quantitatif mais exigent des hypothèses supplémentaires.

Synthèse

La convergence faible des mesures de probabilité signifie la convergence des espérances pour les observables continues bornées, une notion topologique de convergence en loi qui capture le comportement limite macroscopique sans exiger un contrôle fort en norme.