La transpose de la matrice des cofacteurs d'une matrice carrée A, notée adj(A), qui vérifie adj(A)·A = det(A)·I et fournit une formule classique de l'inverse lorsque le déterminant est inversible.

Principe

Construire à partir des mineurs et cofacteurs une matrice qui, multipliée par l'originale, donne le déterminant fois l'identité ; cela relie algébriquement déterminants, mineurs et inversion.

Démonstration

Pour A = [[a,b],[c,d]] l'adjointe est adj(A) = [[d, -b],[-c, a]] donc adj(A)A = (ad−bc)I ; quand ad−bc ≠ 0 l'inverse est A^{-1} = (1/(ad−bc)) adj(A).

Mauvaise application

Utiliser adj(A) comme inverse lorsque det(A)=0 ; adj(A) existe encore mais sa multiplication par A donne zéro fois l'identité et aucune inverse n'est obtenue, il faut d'autres méthodes pour résoudre le système linéaire.

Conséquence

Donne des expressions algébriques explicites pour les inverses sur des corps où det(A) est inversible et produit des identités liant mineurs, cofacteurs et déterminant utiles en calcul symbolique et manipulations algébriques.

Inversion

Inverse par pivot de Gauss (élimination) calcule A^{-1} sans former explicitement les cofacteurs et s'adapte mieux aux contextes numériques et aux procédures de régularisation de singularités.

Limite

Définie pour toutes les matrices carrées sur un anneau commutatif via les cofacteurs, mais l'adjointe donne une inverse seulement si le déterminant est une unité de l'anneau ; dans les anneaux non commutatifs ou si le déterminant est singulier, son rôle d'inverse échoue.

Tension sémantique

Adjointe vs inverse : l'adjointe est une construction algébrique de cofacteurs toujours définie pour les matrices carrées, tandis que l'inverse existe uniquement si le déterminant est inversible — les confondre masque cette condition d'existence.

Synthèse

L'adjointe est la matrice transposée des cofacteurs qui encode algébriquement les mineurs et le déterminant et fournit l'inverse par mise à l'échelle quand le déterminant est inversible, sinon elle reste une matrice liée au déterminant sans rôle d'inverse.