Dans un espace métrique complet, toute application qui est une contraction (réduit les distances par un facteur uniforme strictement inférieur à un) possède un point fixe unique, et l'itération de l'application à partir de n'importe quel point initial converge de façon géométrique vers ce point fixe.

Principe

Une contraction uniforme engendre une suite de Cauchy d'itérés car les distances successives décroissent selon un rapport constant ; la complétude assure que cette suite converge vers un point qui doit être un point fixe.

Démonstration

Sur la droite réelle pour la métrique |·|, l'application f(x) = (x+2)/3 est une contraction de facteur 1/3 ; en partant de tout x_0 les itérés x_{n+1}=f(x_n) convergent à vitesse géométrique vers le point fixe unique x=1.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à une application de constante de Lipschitz égale à un ou à un espace non complet en attendant une convergence garantie ou l'unicité d'un point fixe.

Conséquence

Fournit à la fois l'existence et l'unicité du point fixe et une méthode itérative explicite avec bornes d'erreur, servant de base à de nombreux algorithmes numériques pour la recherche de zéros et les équations fonctionnelles.

Inversion

Les résultats topologiques d'existence de points fixes (par exemple Brouwer ou Schauder) peuvent garantir l'existence sans contraction et par conséquent sans unicité ni convergence itérative simple.

Limite

Exige une constante de contraction globale strictement inférieure à un sur un espace métrique complet et une application à valeurs simples et continue ; les contractions locales ou les applications multivaluées demandent des précautions ou des hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Se distingue des théorèmes généraux de point fixe qui reposent sur la compacité ou la continuité : Banach donne une convergence constructive et l'unicité sous des hypothèses fortes de contraction, tandis que d'autres acceptent des résultats d'existence plus faibles.

Synthèse

Le théorème du point fixe de Banach affirme qu'une contraction uniforme sur un espace métrique complet admet un point fixe unique et fournit une itération convergente, contrôlée quantitativement, pour le calculer.