Une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel V sur un corps F est une application bilinéaire B: V × V → F vérifiant B(u,v) = B(v,u) pour tous u,v ∈ V.

Principe

La symétrie impose que l'accouplement bilinéaire ne distingue pas l'ordre des arguments ; en coordonnées une telle forme est représentée par une matrice symétrique et définit des formes quadratiques x ↦ B(x,x).

Démonstration

Sur R^n le produit scalaire standard B(u,v) = u^T v est une forme bilinéaire symétrique ; sa matrice est l'identité et B(x,x) = ||x||^2 donne la forme quadratique associée.

Mauvaise application

Supposer qu'une forme bilinéaire symétrique est toujours un produit scalaire : une forme symétrique peut être dégénérée ou indéfinie (pas définie strictement positive), et ne définit donc pas nécessairement une norme.

Conséquence

Une forme bilinéaire symétrique non dégénérée fournit un isomorphisme V → V* et permet des décompositions orthogonales ; une forme définie positive confère à V une géométrie euclidienne (ou hilbertienne si complétée).

Inversion

Une forme bilinéaire antisymétrique satisfait B(u,v) = −B(v,u) et, sur un corps de caractéristique ≠ 2, est nulle sur la diagonale, conduisant à des invariants différents (par ex. structures symplectiques) de ceux des formes symétriques.

Limite

La définition dépend de la caractéristique du corps : en caractéristique 2 la symétrie et l'antisymétrie peuvent coïncider pour les formes bilinéaires, d'où la nécessité d'un traitement distinct ; sur des anneaux généraux apparaissent des complications de type module.

Tension sémantique

Formes symétriques versus hermitiennes : sur les corps complexes les formes hermitiennes vérifient B(u,v)=overline{B(v,u)} et généralisent les produits scalaires ; qualifier une forme bilinéaire symétrique complexe de produit scalaire est une erreur de catégorie.

Synthèse

Une forme bilinéaire symétrique est un accouplement linéaire à deux arguments invariante par permutation, représentée par une matrice symétrique, engendrant des formes quadratiques et, si non dégénérée et positive, la structure géométrique d'un espace à produit scalaire.