Entropie thermodynamique d'un macro‑état définie par S = k_B ln W où W est le nombre d'états microscopiques compatibles avec le macro‑état ; de façon plus générale l'entropie statistique pour une loi de probabilité {p_i} est S = −k_B ∑ p_i ln p_i.

Principe

L'entropie quantifie le nombre logarithmique (ou l'espérance du logarithme) des arrangements microscopiques compatibles avec des contraintes macroscopiques données, reliant la multiplicité microscopique aux grandeurs thermodynamiques macroscopiques.

Démonstration

Pour N spins indépendants à deux états avec aimantation macroscopique M, W est le nombre binomial d'états microscopiques ayant les comptes up/down donnés ; S = k_B ln W croît avec N et est maximal pour une aimantation nulle.

Mauvaise application

Utiliser S = k_B ln W lorsque les micro‑états n'ont pas la même probabilité, ou assimiler l'entropie de façon simpliste au « désordre » sans référence aux macro‑états et contraintes spécifiés.

Conséquence

Conduit aux relations thermodynamiques intensives (température, pression) via les dérivées de l'entropie, sous-tend le deuxième principe pour les systèmes isolés (entropie non décroissante dans les processus macroscopiques permis) et justifie les distributions d'équilibre par le comptage.

Inversion

Une description au niveau microscopique (spécification d'une configuration microscopique exacte) correspond à une entropie minimale pour les contraintes macroscopiques choisies, tandis que la maximisation de l'entropie sous contraintes donne les macro‑états typiques.

Limite

S'applique dans le comptage combinatoire classique et en mécanique quantique avec un comptage adapté d'états orthogonaux ; il exclut une application naïve lorsque la mesure sous‑jacente des micro‑états est continue sans bon coarse‑graining.

Tension sémantique

Étroitement lié mais conceptuellement distinct des entropies définies pour des ensembles d'information : ici l'entropie est ancrée dans le comptage des micro‑états physiques et des variables conjuguées thermodynamiques plutôt que seulement dans la longueur de codage.

Synthèse

L'entropie de Boltzmann mesure la multiplicité logarithmique des réalisations microscopiques compatibles avec des contraintes macroscopiques et fait le lien entre descriptions statistiques microscopiques et comportement thermodynamique macroscopique.