Une matrice constante le long de chaque diagonale descendante de gauche à droite ; l'élément (i,j) dépend seulement de la différence i-j, apparaissant souvent dans les systèmes invariants par translation et les processus stationnaires.

Principe

La structure de Toeplitz encode l'invariance par décalage : appliquer la même relation linéaire à des entrées décalées produit des sorties décalées correspondantes, conduisant à un stockage efficace, des algorithmes rapides et des liens spectraux avec des fonctions génératrices.

Démonstration

Une matrice de Toeplitz T de première ligne [t_0, t_1, t_2,...] et première colonne [t_0, t_{-1}, t_{-2},...] a pour éléments T_{ij}=t_{i-j} ; les opérateurs de convolution discrétisés sur maillages uniformes produisent des matrices de Toeplitz.

Mauvaise application

Considérer une matrice empirique quasi-Toeplitz comme exactement Toeplitz et utiliser des solveurs Toeplitz rapides sans traiter les corrections de frontière ou la non-stationnarité, ce qui donne des solutions biaisées.

Conséquence

Exploiter la structure de Toeplitz réduit la complexité de calcul (p. ex. via la récurrence de Levinson ou des approximations circulantes basées sur la FFT) et relie les systèmes linéaires à des multiplicateurs en domaine fréquentiel.

Inversion

Une matrice de Hankel possède des anti-diagonales constantes (éléments dépendent de i+j) plutôt que des différences ; inverser la symétrie d'indices change l'invariance par translation associée et les propriétés spectrales.

Limite

L'hypothèse Toeplitz convient aux problèmes à invariance par translation sur domaines infinis ou périodiques ; les effets de bord, l'échantillonnage non uniforme ou les inhomogénéités rompent la structure et exigent des modèles modifiés.

Tension sémantique

Proche des matrices circulantes qui sont des Toeplitz avec condition de périodicité (wrap-around) ; les matrices circulantes se diagonaliseront par la transformée de Fourier discrète alors que les Toeplitz générales ne le font pas exactement.

Synthèse

Une matrice de Toeplitz est une matrice à diagonales constantes représentant des opérateurs linéaires discrets invariants par translation ; sa structure permet des accélérations algorithmiques et une analyse spectrale lorsque l'invariance par translation ou la stationnarité est approximativement satisfaite.